一元二次方程教案
作為一名無私奉獻(xiàn)的老師,通常會(huì)被要求編寫教案,借助教案可以恰當(dāng)?shù)剡x擇和運(yùn)用教學(xué)方法,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。那么你有了解過教案嗎?以下是小編整理的一元二次方程教案,僅供參考,希望能夠幫助到大家。
一元二次方程教案1
教學(xué)
目標(biāo)
知識(shí)與能力:1.理解一元二次方程根的判別式。
2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
3.同學(xué)們掌握一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.了解一元二次方程的分式方程。
過程與方法:培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及推理論證能力。
情感與價(jià)值觀:滲透分類的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的簡潔美;培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神。
重、難點(diǎn)
重點(diǎn):根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的應(yīng)用。
難點(diǎn):一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用。
一、導(dǎo)入新課、揭示目標(biāo)
1.理解一元二次方程根的判別式。
2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
3.掌握一元二次方程的'實(shí)際應(yīng)用.
二、自學(xué)提綱:
一.主要讓學(xué)生能理解一元二次方程根的判別式:
1.判別式在什么情況下有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根?
2.判別式在什么情況下有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根?
3.判別式在什么情況下無實(shí)數(shù)根?
二.ax2+bx+c=o(a≠0)的兩個(gè)根為x1.x2那么
X1+x2=-x1x2=
三.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用。根據(jù)不同的類型的問題.列出不同類型的方程.
三.合作探究.解決疑難
例1已知關(guān)于x的方程x2+2x=k-1沒有實(shí)數(shù)根.試判別關(guān)于x的方程x2+kx=1-k的根的情況。
鞏固提高:
已知在等腰中,BC=8.AB.AC的長是關(guān)于x的方程x2-10x+m=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.求的周長
例題2:
.已知:x1.x2是關(guān)于x的方程x2+(2a-1)x+a2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.且(x1+2)(x2+2)=11.求a的值。
.鞏固提高:
已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=0.
。1)求證:不論m為任何實(shí)數(shù).方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)若方程兩根為x1.x2.且滿足
求m的值。。
例3某電腦銷售商試銷一品牌電腦(出廠為3000元/臺(tái)),以4000元/臺(tái)銷售時(shí),平均每月銷售100臺(tái).現(xiàn)為了擴(kuò)大銷售,銷售商決定降價(jià)銷售,在原來1月份平均銷售量的基礎(chǔ)上,經(jīng)2月份的市場調(diào)查,3月份調(diào)整價(jià)格后,月銷售額達(dá)到576000元.已知電腦價(jià)格每臺(tái)下降100元,月銷售量將上升10臺(tái),
(1)求1月份到3月份銷售額的平均增長率:
(2)求3月份時(shí)該電腦的銷售價(jià)格.
練習(xí):某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件贏利40元。為了擴(kuò)大銷售,增加利潤,商場決定采取適當(dāng)降價(jià)措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場平均每天可多售出2件。
1)若商場平均每天要贏利1200元,則每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
則降價(jià)多少元?
四、小結(jié)這節(jié)課同學(xué)有什么收獲?同學(xué)互相交流?
五、布置作業(yè):課前課后P10-12
一元二次方程教案2
教學(xué)設(shè)計(jì)思想
解一元二次方程有四種方法,直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法,這四種方法各有千秋。直接開平方法很簡單,在這里不做過多的介紹。為保證學(xué)生掌握基本的運(yùn)算技能,教學(xué)中進(jìn)行了一定量的訓(xùn)練,但要避免學(xué)生簡單的模仿。我們在探究一元二次方程解法的過程中,要加強(qiáng)思想方法的滲透,發(fā)展學(xué)生的思維能力。在解一元二次方程的'幾種方法中,均需要用到轉(zhuǎn)化的思想方法。如配方法需要將方程轉(zhuǎn)化為能直接開平方的形式,公式法能根據(jù)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,所有這些均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。在教學(xué)時(shí)老師引導(dǎo)學(xué)生在主動(dòng)進(jìn)行觀察、思考核探究的基礎(chǔ)上,體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法在其中的作用,充分發(fā)展學(xué)生的思維能力。
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能:
1.會(huì)用配方法、公式法、因式分解法解簡單數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。
2.能夠根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn),靈活選用解方程的方法,體會(huì)解決問題策略的多樣性。
過程與方法:
1.參與對(duì)一元二次方程解法的探索,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,對(duì)結(jié)果比較、驗(yàn)證、歸納、理清幾種解法之間的關(guān)系,并能根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>
2.在探究一元二次方程的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想。
情感態(tài)度價(jià)值觀:
在解一元二次方程的實(shí)踐中,交流、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和規(guī)律,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)樂趣。
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步驟,并熟練運(yùn)用上述方法解題。
難點(diǎn):根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭?/p>
教學(xué)方法
探索發(fā)現(xiàn),講練結(jié)合
一元二次方程教案3
一、教學(xué)目標(biāo)
【知識(shí)與技能】
理解并掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程,能正確、熟練地運(yùn)用公式法解一元二次方程。
【過程與方法】
經(jīng)歷探究求根公式的過程,發(fā)展合情推理能力,提高運(yùn)算能力并養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。
【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】
通過公式法解一元二次方程,感受解法的.多樣性,在學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲取成功的體驗(yàn)。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
【教學(xué)重點(diǎn)】
用公式法解一元二次方程。
【教學(xué)難點(diǎn)】
一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。
三、教學(xué)過程
(一)引入新課
復(fù)習(xí)回顧:用配方法解一元二次方程。
配方,得
(四)小結(jié)作業(yè)
小結(jié):引導(dǎo)學(xué)生做知識(shí)總結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了什么叫公式法,怎樣運(yùn)用公式法解一元二次方程。如何判斷一個(gè)方程是否有實(shí)數(shù)根?
作業(yè):課后練習(xí)題,試著用多種方法解答。
四、板書設(shè)計(jì)
略
一元二次方程教案4
教學(xué)設(shè)計(jì)
一 教學(xué)設(shè)計(jì)思路
通過小球飛行高度問題展示二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。然后進(jìn)一步舉例說明,從而得出二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。最后通過例題介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。
二 教學(xué)目標(biāo)
1 知識(shí)與技能
(1).經(jīng)歷探索函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系。總結(jié)出二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系,表述何時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)根、兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)和沒有實(shí)根.
(2).會(huì)利用圖象法求一元二次方程的近似解。
2 過程與方法
經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程,體會(huì)方程與函數(shù)之間的聯(lián)系.
三 情感態(tài)度價(jià)值觀
通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),討論一元二次方程的根的情況培養(yǎng)學(xué)生自主探索意識(shí),從中體會(huì)事物普遍聯(lián)系的觀點(diǎn),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.
四 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):方程與函數(shù)之間的聯(lián)系,會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解。
難點(diǎn):二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的`個(gè)數(shù)與一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。
五 教學(xué)方法
討論探索法
六 教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)問題的提出與解決
問題 如圖,以20m/s的速度將小球沿與地面成30角的方向擊出時(shí),球的飛行路線將是一條拋物線。如果不考慮空氣阻力,球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有關(guān)系
h=20t5t2。
考慮以下問題
(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如能,需要多少飛行時(shí)間?
(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如能,需要多少飛行時(shí)間?
(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么?
(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?
分析:由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)
h=20t-5t2。
所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式,得到關(guān)于t的一元二次方程,如果方程有合乎實(shí)際的解,則說明球的飛行高度可以達(dá)到問題中h的值:否則,說明球的飛行高度不能達(dá)到問題中h的值。
解:(1)解方程 15=20t5t2。 t24t+3=0。 t1=1,t2=3。
當(dāng)球飛行1s和3s時(shí),它的高度為15m。
(2)解方程 20=20t-5t2。 t2-4t+4=0。 t1=t2=2。
當(dāng)球飛行2s時(shí),它的高度為20m。
(3)解方程 20.5=20t-5t2。 t2-4t+4.1=0。
因?yàn)?-4)2-44.10。所以方程無解。球的飛行高度達(dá)不到20.5m。
(4)解方程 0=20t-5t2。 t2-4t=0。 t1=0,t2=4。
當(dāng)球飛行0s和4s時(shí),它的高度為0m,即0s時(shí)球從地面飛出。4s時(shí)球落回地面。
由學(xué)生小組討論,總結(jié)出二次函數(shù)與一元二次方程的解有什么關(guān)系?
例如:已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3。求自變量x的值。
分析 可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0) 。反過來,解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4+3的值為0,求自變量x的值。
一般地,我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0。
(二)問題的討論
二次函數(shù)(1)y=x2+x-2;
(2) y=x2-6x+9;
(3) y=x2-x+0。
的圖象如圖26.2-2所示。
(1)以上二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎?如果有,有多少個(gè)交點(diǎn),公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?
(2)當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),函數(shù)的值是多少?由此,你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?
先畫出以上二次函數(shù)的圖象,由圖像學(xué)生展開討論,在老師的引導(dǎo)下回答以上的問題。
可以看出:
(1)拋物線y=x2+x-2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)是-2,1。當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),函數(shù)的值是0。由此得出方程x2+x-2=0的根是-2,1。
(2)拋物線y=x2-6x+9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn),這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3。當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)的值是0。由此得出方程x2-6x+9=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3。
(3)拋物線y=x2-x+1與x軸沒有公共點(diǎn), 由此可知,方程x2-x+1=0沒有實(shí)數(shù)根。
總結(jié):一般地,如果二次函數(shù)y= 的圖像與x軸相交,那么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程 =0的根。
(三)歸納
一般地,從二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知,
(1)如果拋物線y=ax2+bx+c與x軸有公共點(diǎn),公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0,那么當(dāng)x=x0時(shí),函數(shù)的值是0,因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根。
(2)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:沒有公共點(diǎn),有一個(gè)公共點(diǎn),有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況:沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。
由上面的結(jié)論,我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根。由于作圖或觀察可能存在誤差,由圖象求得的根,一般是近似的。
(四)例題
例 利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1)。
解:作y=x2-2x-2的圖象(如圖),它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7,2.7。
所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1-0.7,x22.7。
七 小結(jié)
二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種:沒有公共點(diǎn),有一個(gè)公共點(diǎn),有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況:沒有實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。
。
八 板書設(shè)計(jì)
用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程
拋物線y=ax2+bx+c與方程ax2+bx+c=0的解之間的關(guān)系
例題
一元二次方程教案5
教學(xué)內(nèi)容
間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程.
教學(xué)目標(biāo)
理解間接即通過變形運(yùn)用開平方法降次解方程,并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.
通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟.
重難點(diǎn)關(guān)鍵
1.重點(diǎn):講清“直接降次有困難,如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟.
2.難點(diǎn)與關(guān)鍵:不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.
教學(xué)過程
一、復(fù)習(xí)引入
(學(xué)生活動(dòng))請同學(xué)們解下列方程
。1)3x2-1=5 (2)4(x-1)2-9=0 (3)4x2+16x+16=9
老師點(diǎn)評(píng):上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=± 或mx+n=± (p≥0).
如:4x2+16x+16=(2x+4)2
二、探索新知
列出下面二個(gè)問題的`方程并回答:
(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢?
。2)能否直接用上面三個(gè)方程的解法呢?
問題1:印度古算中有這樣一資骸耙蝗漢鎰?dòng)分两稒堰高姓b嗽謨蝸罰?八分之一再平方,蹦蹦跳跳樹林里;其余十二嘰喳喳,伶俐活潑又調(diào)皮,告我總數(shù)共多少,兩隊(duì)猴子在一起”.
大意是說:一群猴子分成兩隊(duì),一隊(duì)猴子數(shù)是猴子總數(shù)的 的平方,另一隊(duì)猴子數(shù)是12,那么猴子總數(shù)是多少?你能解決這個(gè)問題嗎?問題2:如圖,在寬為20m,長為32m的矩形地面上,修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路,余下的六個(gè)相同的部分作為耕地,要使得耕地的面積為5000m2,道路的寬為多少?老師點(diǎn)評(píng):問題1:設(shè)總共有x只猴子,根據(jù)題意,得:x=( x)2+12
整理得:x2-64x+768=0
問題2:設(shè)道路的寬為x,則可列方程:(20-x)(32-2x)=500
整理,得:x2-36x+70=0
。1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是:前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有.
。2)不能.
既然不能直接降次解方程,那么,我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程,下面,我們就來講如何轉(zhuǎn)化:
x2-64x+768=0 移項(xiàng)→ x=2-64x=-768
兩邊加( )2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024
一元二次方程教案6
教材分析
本節(jié)課是以成本下降為問題探究,討論平均變化率的問題,這類問題在現(xiàn)實(shí)世界中有很多的原型,例如經(jīng)濟(jì)增長率、人口增長率等等,聯(lián)系生活實(shí)際很密切,這類問題也是一元二次方程在生活中最典型的應(yīng)用。本節(jié)課主要是討論兩輪(即兩個(gè)時(shí)間段)的平均變化率,它可以用一元二次方程作為數(shù)學(xué)模型。
學(xué)情分析
1、由于我們的學(xué)生對(duì)列方程解應(yīng)用題有畏懼的心理,感覺很困難,根據(jù)探究1學(xué)生的掌握情況來看,決定把探究2作為一課時(shí),來專門學(xué)習(xí)。
2、學(xué)生對(duì)列方程解應(yīng)用題的步驟已經(jīng)很熟悉,而且有了第一課時(shí)連續(xù)傳播問題的做鋪墊,適合用自主探究,合作交流的學(xué)習(xí)方法。
3、連續(xù)增長問題的中的數(shù)量關(guān)系、規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是本節(jié)課的難點(diǎn),所以我把問題分解了讓學(xué)生逐個(gè)突破,由于九年級(jí)學(xué)生具有一定的`解題歸納能力,所以采用從一般到特殊的探究方式。
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能:
1、能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程,體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界某些問題的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。
2、能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義,檢驗(yàn)結(jié)果是否合理。
過程與方法:
1、經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程,探索問題中的數(shù)量關(guān)系,并能運(yùn)用一元二次方程對(duì)之進(jìn)行描述。
2、通過成本降低、能源增長等實(shí)際問題,學(xué)會(huì)將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,發(fā)展實(shí)踐應(yīng)用意識(shí)。
情感與態(tài)度:通過用一元一次方程解決身邊的問題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):利用增長率問題中的數(shù)量關(guān)系,列出方程解決問題
難點(diǎn):理清增長率問題中的數(shù)量關(guān)系
一元二次方程教案7
教學(xué)內(nèi)容: 12.1 用公式解一元二次方程(一)
教學(xué)目標(biāo):
知識(shí)與技能目標(biāo):1.使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義;2.掌握一元二次方程的一般形式,正確識(shí)別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
過程與方法目標(biāo): 1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;2.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念理解的完整性和深刻性.
情感與態(tài)度目標(biāo):由知識(shí)來源于實(shí)際,樹立轉(zhuǎn)化的思想,由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法,由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).,數(shù)學(xué)教案-用公式法解一元二次方程。
教學(xué)重、難點(diǎn)與關(guān)鍵:
重點(diǎn):一元二次方程的意義及一般形式.
難點(diǎn):正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。
教輔工具:
教學(xué)程序設(shè)計(jì):
程序
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
備注
創(chuàng)設(shè)
問題
情景
1.用電腦演示下面的操作:一塊長方形的薄鋼片,在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后把四邊折起來,就成為一個(gè)無蓋的長方體盒子,演示完畢,讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀,實(shí)際操作一下剛才演示的過程.學(xué)生的實(shí)際操作,為解決下面的問題奠定基礎(chǔ),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片,在每個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子,那么應(yīng)該怎樣求出截去的小正方形的邊長?
教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程,經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不會(huì)解,說明所學(xué)知識(shí)不夠用,需要學(xué)習(xí)新的知識(shí),學(xué)了本章的`知識(shí),就可以解這個(gè)方程,從而解決上述問題.
板書:“第十二章一元二次方程”.教師恰當(dāng)?shù)恼Z言,激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.
學(xué)生看投影并思考問題
通過章前引例和節(jié)前引例,使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到知識(shí)來源于實(shí)際,并且又為實(shí)際服務(wù),學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識(shí),可以解決許多實(shí)際問題,真正體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義;產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識(shí),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中.同時(shí)讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
探
究
新
知
1
1.復(fù)習(xí)提問
。1)什么叫做方程?曾學(xué)過哪些方程?
。2)什么叫做一元一次方程?“元”和“次”的含義?
。3)什么叫做分式方程?
2.引例:剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm,這塊鐵片應(yīng)怎樣剪?
引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程,并整理得方程x2+5x-150=0,此方程和章前引例所得到的方程x2+70x+825=0加以觀察、比較,得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程:方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程:只含有一個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.練習(xí):指出下列方程,哪些是一元二次方程?
。1)x(5x-2)=x(x+1)+4x2;
。2)7x2+6=2x(3x+1);
一元二次方程教案8
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn):使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題.
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn):進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題.
2.教學(xué)難點(diǎn):有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系.下列詞語的異同;增長,增長了,增長到;擴(kuò)大,擴(kuò)大到,擴(kuò)大了.
三、教學(xué)步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo).
。ǘ┱w感知
。ㄈ┲攸c(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1.復(fù)習(xí)提問
(1)原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量.
。2)單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率.
(3)實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×(1+增長率).
2.例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸,三月份上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每月增長的百分率是多少?
分析:設(shè)平均每月的增長率為x.
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000(1+x)(噸).
3月份的產(chǎn)量是[5000(1+x)+5000(1+x)x]
=5000(1+x)2(噸).
解:設(shè)平均每月的增長率為x,據(jù)題意得:
5000(1+x)2=7200
。1+x)2=1。44
1+x=±1。2.
x1=0。2,x2=-2。2(不合題意,舍去).
取x=0。2=20%.
教師引導(dǎo),點(diǎn)撥、板書,學(xué)生回答.
注意以下幾個(gè)問題:
。1)為計(jì)算簡便、直接求得,可以直接設(shè)增長的百分率為x.
。2)認(rèn)真審題,弄清基數(shù),增長了,增長到等詞語的關(guān)系.
(3)用直接開平方法做簡單,不要將括號(hào)打開.
練習(xí)1.教材P。42中5.
學(xué)生分析題意,板書,筆答,評(píng)價(jià).
練習(xí)2.若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x,分別列出下面幾個(gè)問題的方程.
。1)某工廠用二年時(shí)間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍,求每年平均增長的百分率.
。1+x)2=b(把原來的總產(chǎn)值看作是1.)
。2)某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元,求每年平均增長的百分?jǐn)?shù).
。╝(1+x)2=b)
。3)某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍,求每年增長的百分?jǐn)?shù).
。ǎ1+x)2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1.)
以上學(xué)生回答,教師點(diǎn)撥.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律:
設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a,平均每次增長的百分率為x,則增長一次后的產(chǎn)值為a(1+x),增長兩次后的產(chǎn)值為a(1+x)2 ,…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a(1+x)n.
規(guī)律的得出,使學(xué)生對(duì)此類問題能居高臨下,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力.
例2 某產(chǎn)品原來每件600元,由于連續(xù)兩次降價(jià),現(xiàn)價(jià)為384元,如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同,求每次降價(jià)百分之幾?
分析:設(shè)每次降價(jià)為x.
第一次降價(jià)后,每件為600-600x=600(1-x)(元).
第二次降價(jià)后,每件為600(1-x)-600(1-x)x
=600(1-x)2(元).
解:設(shè)每次降價(jià)為x,據(jù)題意得
600(1-x)2=384.
答:平均每次降價(jià)為20%.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢,學(xué)生板書,筆答,評(píng)價(jià),對(duì)比,總結(jié).
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比“增長”、“下降”的區(qū)別.如果設(shè)平均每次增長或下降為x,則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b,可列式為a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).
。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
1.善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,嚴(yán)格審題,弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系,正確布列方程.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法.
2.在解方程時(shí),注意巧算;注意方程兩根的取舍問題.
3.我們只學(xué)習(xí)一元一次方程,一元二次方程的解法,所以只求到兩年的增長率.3年、4年……,n年,應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程,隨著知識(shí)的增加,我們也將會(huì)解這些方程.
四、布置作業(yè)
教材P。42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12。6 一元二次方程應(yīng)用(三)
1.?dāng)?shù)量關(guān)系:例1……例2……
(1)原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量分析:……分析……
。2)單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率解……解……
。3)實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量(1+增長率)
2.最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時(shí)間
的基本關(guān)系:
M=m(1+x)n n為時(shí)間
M為最后產(chǎn)量,m為基數(shù),x為平均增長率
12.6 一元二次方程的應(yīng)用(三)
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R(shí)教學(xué)點(diǎn):使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解決有關(guān)增長率問題.
(二)能力訓(xùn)練點(diǎn):進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)用列方程的方法解決有關(guān)增長率問題.
2.教學(xué)難點(diǎn):有關(guān)增長率之間的數(shù)量關(guān)系.下列詞語的異同;增長,增長了,增長到;擴(kuò)大,擴(kuò)大到,擴(kuò)大了.
三、教學(xué)步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo).
(二)整體感知
。ㄈ┲攸c(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1.復(fù)習(xí)提問
。1)原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量.
。2)單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率.
。3)實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量×(1+增長率).
2.例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸,三月份上升到7200噸,這兩個(gè)月平均每月增長的百分率是多少?
分析:設(shè)平均每月的增長率為x.
則2月份的產(chǎn)量是5000+5000x=5000(1+x)(噸).
3月份的產(chǎn)量是[5000(1+x)+5000(1+x)x]
=5000(1+x)2(噸).
解:設(shè)平均每月的增長率為x,據(jù)題意得:
5000(1+x)2=7200
。1+x)2=1。44
1+x=±1。2.
x1=0。2,x2=-2。2(不合題意,舍去).
取x=0。2=20%.
教師引導(dǎo),點(diǎn)撥、板書,學(xué)生回答.
注意以下幾個(gè)問題:
。1)為計(jì)算簡便、直接求得,可以直接設(shè)增長的百分率為x.
。2)認(rèn)真審題,弄清基數(shù),增長了,增長到等詞語的關(guān)系.
。3)用直接開平方法做簡單,不要將括號(hào)打開.
練習(xí)1.教材P。42中5.
學(xué)生分析題意,板書,筆答,評(píng)價(jià).
練習(xí)2.若設(shè)每年平均增長的百分?jǐn)?shù)為x,分別列出下面幾個(gè)問題的方程.
(1)某工廠用二年時(shí)間把總產(chǎn)值增加到原來的b倍,求每年平均增長的百分率.
(1+x)2=b(把原來的總產(chǎn)值看作是1.)
。2)某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值由a萬元增加到b萬元,求每年平均增長的.百分?jǐn)?shù).
。╝(1+x)2=b)
。3)某工廠用兩年時(shí)間把總產(chǎn)值增加了原來的b倍,求每年增長的百分?jǐn)?shù).
。ǎ1+x)2=b+1把原來的總產(chǎn)值看作是1.)
以上學(xué)生回答,教師點(diǎn)撥.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)下面的規(guī)律:
設(shè)某產(chǎn)量原來的產(chǎn)值是a,平均每次增長的百分率為x,則增長一次后的產(chǎn)值為a(1+x),增長兩次后的產(chǎn)值為a(1+x)2 ,…………增長n次后的產(chǎn)值為S=a(1+x)n.
規(guī)律的得出,使學(xué)生對(duì)此類問題能居高臨下,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)造能力.
例2 某產(chǎn)品原來每件600元,由于連續(xù)兩次降價(jià),現(xiàn)價(jià)為384元,如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相同,求每次降價(jià)百分之幾?
分析:設(shè)每次降價(jià)為x.
第一次降價(jià)后,每件為600-600x=600(1-x)(元).
第二次降價(jià)后,每件為600(1-x)-600(1-x)x
=600(1-x)2(元).
解:設(shè)每次降價(jià)為x,據(jù)題意得
600(1-x)2=384.
答:平均每次降價(jià)為20%.
教師引導(dǎo)學(xué)生分析完畢,學(xué)生板書,筆答,評(píng)價(jià),對(duì)比,總結(jié).
引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比“增長”、“下降”的區(qū)別.如果設(shè)平均每次增長或下降為x,則產(chǎn)值a經(jīng)過兩次增長或下降到b,可列式為a(1+x)2=b(或a(1-x)2=b).
。ㄋ模┛偨Y(jié)、擴(kuò)展
1.善于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,嚴(yán)格審題,弄清各數(shù)據(jù)相互關(guān)系,正確布列方程.培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及滲透轉(zhuǎn)化和方程的思想方法.
2.在解方程時(shí),注意巧算;注意方程兩根的取舍問題.
3.我們只學(xué)習(xí)一元一次方程,一元二次方程的解法,所以只求到兩年的增長率.3年、4年……,n年,應(yīng)該說按照規(guī)律我們可以列出方程,隨著知識(shí)的增加,我們也將會(huì)解這些方程.
四、布置作業(yè)
教材P。42中A8
五、板書設(shè)計(jì)
12。6 一元二次方程應(yīng)用(三)
1.?dāng)?shù)量關(guān)系:例1……例2……
(1)原產(chǎn)量+增產(chǎn)量=實(shí)際產(chǎn)量分析:……分析……
。2)單位時(shí)間增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增長率解……解……
(3)實(shí)際產(chǎn)量=原產(chǎn)量(1+增長率)
2.最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長率、時(shí)間的基本關(guān)系:
M=m(1+x)n n為時(shí)間
M為最后產(chǎn)量,m為基數(shù),x為平均增長率
一元二次方程教案9
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識(shí)內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個(gè)例題介紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計(jì)算的知識(shí)。例如,求方程中的特定系數(shù),求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題,由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。
根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理(韋達(dá)是法國數(shù)學(xué)家)。韋達(dá)定理是初中代數(shù)中的一個(gè)重要定理。這是因?yàn)橥ㄟ^韋達(dá)定理的學(xué)習(xí),把一元二次方程的研究推向了高級(jí)階段,運(yùn)用韋達(dá)定理可以進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)中的許多問題,如二次三項(xiàng)式的因式分解,解二元二次方程組;韋達(dá)定理對(duì)后面函數(shù)的學(xué)習(xí)研究也是作用非凡。
通過近些年的中考數(shù)學(xué)試卷的分析可以得出:韋達(dá)定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題,有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來,形成難度系數(shù)較大的壓軸題。
通過韋達(dá)定理的教學(xué),可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學(xué)問題的能力,也為學(xué)生今后學(xué)習(xí)方程理論打下基礎(chǔ)。
(二)重點(diǎn)、難點(diǎn)
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是重點(diǎn),讓學(xué)生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系,并用語言表述,以及由一個(gè)已知方程求作新方程,使新方程的'根與已知的方程的根有某種關(guān)系,比較抽象,學(xué)生真正掌握有一定的難度,是教學(xué)的難點(diǎn)。
(三)教學(xué)目標(biāo)
1、知識(shí)目標(biāo):要求學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式,能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個(gè)根求出另一個(gè)根與未知數(shù),會(huì)求一元二次方程兩個(gè)根的倒數(shù)和與平方數(shù),兩根之差。
一元二次方程教案10
教學(xué)目標(biāo)
(1)會(huì)用公式法解一元二次方程;
(2)經(jīng)歷求根公式的發(fā)現(xiàn)和探究過程,提高學(xué)生觀察能力、分析能力以及邏輯思維能力;
(3)滲透化歸思想,領(lǐng)悟配方法,感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.
教學(xué)重點(diǎn)
知識(shí)層面:公式的推導(dǎo)和用公式法解一元二次方程;
能力層面:以求根公式的發(fā)現(xiàn)和探究為載體,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法.
教學(xué)難點(diǎn):求根公式的推導(dǎo).
總體設(shè)計(jì)思路:
以舊知識(shí)為起點(diǎn),問題為主線,以教師指導(dǎo)下學(xué)生自主探究為基本方式,突出數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與探究知識(shí)的方法,發(fā)展學(xué)生的理性思維.
教學(xué)過程
整體教學(xué)流程:形成表象,提出問題
分析問題,探究本質(zhì)
得出結(jié)論,解決問題
拓展應(yīng)用,升華提高
歸納小結(jié),布置作業(yè).
形成表象,提出問題
在上一節(jié)已學(xué)的用配方法解一元二次方程的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)情景.
解下列一元二次方程:(學(xué)生選兩題做)
(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;
(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.
然后讓學(xué)生仔細(xì)觀察四題的解答過程,由此發(fā)現(xiàn)有什么相同之處,有什么不同之處?
接著再改變上面每題的其中的一個(gè)系數(shù),得到新的四個(gè)方程:(學(xué)生不做,思考其解題過程)
(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;
(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.
思考:新的四題與原題的解題過程會(huì)發(fā)生什么變化?
設(shè)計(jì)意圖:1.復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí),為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下更好的基礎(chǔ);
2.讓學(xué)生充分感受到用配方法解題既存在著共性,也存在著不同的現(xiàn)象,由此激發(fā)學(xué)生的求知欲望.
分析問題,探究本質(zhì)
由學(xué)生的觀察討論得到:用配方法解不同一元二次方程的過程中,相同之處是配方的過程----程序化的操作,不同之處是方程的根的情況及其方程的根.
進(jìn)而提出下面的問題:
既然過程是相同的,為什么會(huì)出現(xiàn)根的不同?方程的根與什么有關(guān)?有怎樣的關(guān)系?如何進(jìn)一步探究?
讓學(xué)生討論得出:從一元二次方程的一般形式去探究根與系數(shù)的關(guān)系.
ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)程度的不同,可
ax2+bx=-c 以采用學(xué)生獨(dú)立嘗試配方, 合x2+
x=-
作嘗試配方或教師引導(dǎo)下進(jìn)行
x2+
x+
=-
+
配方等各種教學(xué)形式.
(x+
)2=
然后再議開方過程(讓學(xué)生結(jié)合前面四題方程來加以討論),使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到“b2-4ac”的重要性.
當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),
(x+
)2=
注:這樣變形可以避免對(duì)a正、負(fù)的討論,
x+
=
便于學(xué)生的理解.
x=-
即x=
x1=
, x2=
當(dāng)b2-4ac<0時(shí),
方程無實(shí)數(shù)根.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生通過經(jīng)歷知識(shí)形成的全過程,從而提高自身的'觀察能力、分析問題和解決問題的能力,發(fā)展了理性思維.
得出結(jié)論,解決問題
由上面的探究過程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a,b,c確定. 當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),
x=
;
當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程無實(shí)數(shù)根.
這個(gè)式子對(duì)解題有什么幫助?通過討論加深對(duì)式子的理解,同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)的簡潔美、和諧美.
進(jìn)而闡述這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
運(yùn)用公式法解一元二次方程.(設(shè)計(jì)兩個(gè)環(huán)節(jié):共同練習(xí)和獨(dú)立完成)
[共同練習(xí)]
(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ;
(3)x2+15x=-3x; (4)x2-
x+
=0.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:進(jìn)一步闡述求根公式,歸納總結(jié)用公式法解一元二次方程的一般步驟.
[獨(dú)立完成]
用公式法解一元二次方程:
(1)x2+x-6=0; (2)x2-
x-
=0; (3)3x2-6x-2=0;
(4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11; (6)x(2x-4)=5-8x.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:能夠熟練運(yùn)用公式法解一元二次方程,讓每位學(xué)生都有所收獲.
拓展運(yùn)用,升華提高
分兩個(gè)環(huán)節(jié):用一用和想一想(此環(huán)節(jié)基于學(xué)生課堂掌握的情況而定,可作為課后思考題).
[用一用]
解決本章引言中的問題:
要設(shè)計(jì)一座2m高的人體雕像,使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以小)的高度比,等于下部與全部的高度比,雕像的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高?
雕像上部的高度AC,下部的高度BC應(yīng)有如下關(guān)系:
即BC2=2AC.
設(shè)雕像下部高xm,于是得方程
x2=2(2-x)
整理得:x2+2x-4=0.
解這個(gè)方程,得
x=
,
x1=-1+
,x2=-1-
.
精確到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.
考慮實(shí)際意義, x≈1.236.所以雕像下部高度應(yīng)設(shè)計(jì)約為1.236m.
在前面的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問: (結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,可以放在課后思考.)
(1)如果雕像的高度設(shè)計(jì)為3m,那雕像的下部應(yīng)是多少?4m呢?
(2)進(jìn)而把問題一般化,這個(gè)高度比是多少?
之后簡單介紹黃金分割數(shù),使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奧妙.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:①運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題;②能力層面上的拓展----化歸思想.
[想一想]
清清和楚楚剛學(xué)了用公式法解一元二次方程,看到一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清說:“此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”,而楚楚反駁說:“不一定,根的情況跟m的值有關(guān)”.那你們認(rèn)為呢?并說明理由.
此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖:基于學(xué)生基礎(chǔ)較好,因此對(duì)求根公式作進(jìn)一步深化,并綜合運(yùn)用了配方法,使不同層次的學(xué)生都有不同提高.
歸納小結(jié),布置作業(yè)
結(jié)合上面用一用,讓學(xué)生嘗試對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行梳理,對(duì)方法進(jìn)行提煉,從而使學(xué)生的知識(shí)和方法更具系統(tǒng)化和網(wǎng)絡(luò)化,同時(shí)也是情感的升華過程.
作業(yè): (結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況,可以分層布置.)
㈠作業(yè)本;
、嫱貜V探索:P46第12題
、玳喿x思考P46-----黃金分割數(shù),有興趣的同學(xué)可以上網(wǎng)查閱相關(guān)資料,或進(jìn)一步探究根與系數(shù)的其他關(guān)系.
一元二次方程教案11
教學(xué)目標(biāo):(1)理解一元二次方程的概念
(2)掌握一元二次方程的一般形式,會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
。2)會(huì)用因式分解法解一元二次方程
教學(xué)重點(diǎn):一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
教學(xué)難點(diǎn):因式分解法解一元二次方程
教學(xué)過程:
。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,引入新課
實(shí)際例子引入:列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由學(xué)生說出這幾個(gè)方程的.共同特征,從而引出一元二次方程的概念。
。ǘ┬率
1:一元二次方程的概念。(一個(gè)未知數(shù)、最高次2次、等式兩邊都是整式)
練習(xí)
2:一元二次方程的一般形式(形如aX+bX+c=0)
任一個(gè)一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化成一般形式,注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零
3:講解例子
4:利用因式分解法解一元二次方程
5:講解例子
6:一般步驟
練習(xí)
。ㄈ┬〗Y(jié)
(四)布置作業(yè)
板書設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo):(1)理解一元二次方程的概念
。2)掌握一元二次方程的一般形式,會(huì)判斷一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。
。2)會(huì)用因式分解法解一元二次方程
教學(xué)重點(diǎn):一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式
教學(xué)難點(diǎn):因式分解法解一元二次方程
教學(xué)過程:
。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,引入新課
實(shí)際例子引入:列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0
由學(xué)生說出這幾個(gè)方程的共同特征,從而引出一元二次方程的概念。
。ǘ┬率
1:一元二次方程的概念。(一個(gè)未知數(shù)、最高次2次、等式兩邊都是整式)
練習(xí)
2:一元二次方程的一般形式(形如aX+bX+c=0)
任一個(gè)一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化成一般形式,注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零
3:講解例子
4:利用因式分解法解一元二次方程
5:講解例子
6:一般步驟
練習(xí)
。ㄈ┬〗Y(jié)
。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
板書設(shè)計(jì)
一元二次方程教案12
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R(shí)教學(xué)點(diǎn):
1.使學(xué)生了解一元二次方程及整式方程的意義;
2.掌握一元二次方程的一般形式,正確識(shí)別二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn):
1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力;
2.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念理解的完整性和深刻性.
(三)德育滲透點(diǎn):由知識(shí)來源于實(shí)際,樹立轉(zhuǎn)化的思想,由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法,由此培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí).
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):一元二次方程的意義及一般形式.
2.教學(xué)難點(diǎn):正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”.
三、教學(xué)步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
1.用電腦演示下面的操作:一塊長方形的薄鋼片,在薄鋼片的四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后把四邊折起來,就成為一個(gè)無蓋的長方體盒子,演示完畢,讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的長方形紙片和剪刀,實(shí)際操作一下剛才演示的過程.學(xué)生的實(shí)際操作,為解決下面的問題奠定基礎(chǔ),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生手、腦、眼并用的.能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm,寬60cm的薄鋼片,在每個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形,然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子,那么應(yīng)該怎樣求出截去的小正方形的邊長?
教師啟發(fā)學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列方程,經(jīng)整理得到方程x2-70x+825=0,此方程不會(huì)解,說明所學(xué)知識(shí)不夠用,需要學(xué)習(xí)新的知識(shí),學(xué)了本章的知識(shí),就可以解這個(gè)方程,從而解決上述問題.
板書:“第十二章一元二次方程”.教師恰當(dāng)?shù)恼Z言,激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣.
。ǘ┱w感知
通過章前引例和節(jié)前引例,使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到知識(shí)來源于實(shí)際,并且又為實(shí)際服務(wù),學(xué)習(xí)了一元二次方程的知識(shí),可以解決許多實(shí)際問題,真正體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義;產(chǎn)生用數(shù)學(xué)的意識(shí),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中.同時(shí)讓學(xué)生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
。ㄈ┲攸c(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過程
1.復(fù)習(xí)提問
。1)什么叫做方程?曾學(xué)過哪些方程?
(2)什么叫做一元一次方程?
一元二次方程教案13
一、素質(zhì)教育目標(biāo)
。ㄒ唬┲R(shí)教學(xué)點(diǎn):使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間關(guān)系的應(yīng)用題.
。ǘ┠芰τ(xùn)練點(diǎn):通過列方程解應(yīng)用問題,進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力.
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn):會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間的關(guān)系的應(yīng)用題.
2.教學(xué)難點(diǎn):根據(jù)數(shù)與數(shù)字關(guān)系找等量關(guān)系.
三、教學(xué)步驟
。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
。ǘ┱w感知:
。ㄈ┲攸c(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)和目標(biāo)完成過程
1.復(fù)習(xí)提問
。1)列方程解應(yīng)用問題的步驟?
、賹忣},②設(shè)未知數(shù),③列方程,④解方程,⑤答.
。2)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的表示方法是,2n+1,2n-1;2n-1,2n-3;……(n表示整數(shù)).
2.例1 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323,求這兩個(gè)數(shù).
分析:(1)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)中較大的奇數(shù)與較小奇數(shù)之差為2,(2)設(shè)元(幾種設(shè)法) .設(shè)較小的.奇數(shù)為x,則另一奇數(shù)為x+2, 設(shè)較小的奇數(shù)為x-1,則另一奇數(shù)為x+1; 設(shè)較小的奇數(shù)為2x-1,則另一個(gè)奇數(shù)2x+1.
以上分析是在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生回答,有三種設(shè)法,就有三種列法,找三位學(xué)生使用三種方法,然后進(jìn)行比較、鑒別,選出最簡單解法.
解法(一)
設(shè)較小奇數(shù)為x,另一個(gè)為x+2,
據(jù)題意,得x(x+2)=323.
整理后,得x2+2x-323=0.
解這個(gè)方程,得x1=17,x2=-19.
由x=17得x+2=19,由x=-19得x+2=-17,
答:這兩個(gè)奇數(shù)是17,19或者-19,-17.
解法(二)
設(shè)較小的奇數(shù)為x-1,則較大的奇數(shù)為x+1.
據(jù)題意,得(x-1)(x+1)=323.
整理后,得x2=324.
解這個(gè)方程,得x1=18,x2=-18.
當(dāng)x=18時(shí),18-1=17,18+1=19.
當(dāng)x=-18時(shí),-18-1=-19,-18+1=-17.
答:兩個(gè)奇數(shù)分別為17,19;或者-19,-17.
解法(三)
設(shè)較小的奇數(shù)為2x-1,則另一個(gè)奇數(shù)為2x+1.
據(jù)題意,得(2x-1)(2x+1)=323.
整理后,得4x2= 324.
解得,2x=18,或2x=-18.
當(dāng)2x=18時(shí),2x-1=18-1=17;2x+1=18+1=19.
當(dāng)2x=-18時(shí),2x-1=-18-1=-19;2x+1=-18+1=-17
答:兩個(gè)奇數(shù)分別為17,19;-19,-17.
引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析解決下面三個(gè)問題:
1.三種不同的設(shè)元,列出三種不同的方程,得出不同的x值,影響最后的結(jié)果嗎?
2.解題中的x出現(xiàn)了負(fù)值,為什么不舍去?
答:奇數(shù)、偶數(shù)是在整數(shù)范圍內(nèi)討論,而整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù).3.選出三種方法中最簡單的一種.
練習(xí)
1.兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積是210,求這兩個(gè)數(shù).
2.三個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是321,求這三個(gè)數(shù).
3.已知兩個(gè)數(shù)的和是12,積為23,求這兩個(gè)數(shù).
學(xué)生板書,練習(xí),回答,評(píng)價(jià),深刻體會(huì)方程的思想方法.例2 有一個(gè)兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍,其十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小2,求這兩位數(shù).
分析:數(shù)與數(shù)字的關(guān)系是:
兩位數(shù)=十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字.
三位數(shù)=百位數(shù)字×100+十位數(shù)字×10+個(gè)位數(shù)字.
解:設(shè)個(gè)位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為x-2,這個(gè)兩位數(shù)是10(x-2)+x.
據(jù)題意,得10(x-2)+x=3x(x-2),
整理,得3x2-17x+20=0,
當(dāng)x=4時(shí),x-2=2,10(x-2)+x=24.
答:這個(gè)兩位數(shù)是24.
練習(xí)1 有一個(gè)兩位數(shù),它們的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為8,如果把十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字調(diào)換后,所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得1855,求原來的兩位數(shù).(35,53)
2.一個(gè)兩位數(shù),其兩位數(shù)字的差為5,把個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換后所得的數(shù)與原數(shù)之積為976,求這個(gè)兩位數(shù).
教師引導(dǎo),啟發(fā),學(xué)生筆答,板書,評(píng)價(jià),體會(huì).
(四)總結(jié),擴(kuò)展
1奇數(shù)的表示方法為 2n+1,2n-1,……(n為整數(shù))偶數(shù)的表示方法是2n(n是整數(shù)),連續(xù)奇數(shù)(偶數(shù))中,較大的與較小的差為2,偶數(shù)、奇數(shù)可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù).
數(shù)與數(shù)字的關(guān)系
兩位數(shù)=(十位數(shù)字×10)+個(gè)位數(shù)字.
三位數(shù)=(百位數(shù)字×100)+(十位數(shù)字×10)+個(gè)位數(shù)字.
……
2.通過本節(jié)課內(nèi)容的比較、鑒別、分析、綜合,進(jìn)一步提高分析問題、解決問題的能力,深刻體會(huì)方程的思想方法在解應(yīng)用問題中的用途.
四、布置作業(yè)
教材P.42中A1、2、
一元二次方程教案14
【教材分析】
一元二次方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一,在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位。通過一元二次方程的學(xué)習(xí),可以對(duì)已學(xué)過實(shí)數(shù)、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識(shí)加以鞏固,同時(shí)又是今后學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)。此外,學(xué)習(xí)一元二次方程對(duì)其它學(xué)科有重要意義。本節(jié)課是一元二次方程的概念,是通過豐富的實(shí)例,讓學(xué)生建立一元二次方程,并通過觀察歸納出一元二次方程的概念。
【教學(xué)目標(biāo)】
1、理解一元二次方程的概念,能熟練地把一元二次方程整理成一般形式(≠0)并知道各項(xiàng)及其系數(shù)。
2、在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(一元二次方程)的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具,增加對(duì)一元二次方程的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。
【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】
理解一元二次方程的概念及一般形式,會(huì)正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”。
【教法、學(xué)法】
因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及相關(guān)概念,所以本節(jié)課我主要采用啟發(fā)式、類比法教學(xué)。教學(xué)中力求體現(xiàn)“問題情景---數(shù)學(xué)模型-----概念歸納”的模式。本節(jié)課借助多媒體輔助教學(xué),指導(dǎo)學(xué)生從具體的問題情景中抽象出數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)方程,從而突破難點(diǎn)。同時(shí)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)的生活情景中,經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模,經(jīng)過自主探索和合作交流的學(xué)習(xí)過程,產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn),進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問題,有效發(fā)揮學(xué)生的思維能力。
【教學(xué)過程】
一、復(fù)習(xí)舊知,類比新知
1、一元一次方程的概念
像這樣的等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1(一次)的方程叫做一元一次方程
2、一般形式:
是常數(shù)且
設(shè)計(jì)意圖:復(fù)習(xí)一元一次方程,讓學(xué)生回憶起一元一次方程的概念,回憶起“項(xiàng)”及“系數(shù)”的概念,通過類比,讓學(xué)生能更好的理解一元二次方程的概念。
二、生活情境,自主學(xué)習(xí)
(1)正方形桌面的面積是2m
,設(shè)正方形桌面的邊長是x m,可得方程
(2)矩形花圃一面靠墻,另外三面所圍的柵欄的總長度是19米。如果花圃的面積是24m2,
設(shè)花圃的寬是x m則花圃的長是m,
可得方程
。3)一張面積是600cm2的長方形紙片,把它的一邊剪短10cm,恰好得到一個(gè)正方形。設(shè)這個(gè)正方形的邊長是x cm,可得方程
。4)長5米的梯子斜靠在墻上,梯子的底端與墻的距離比梯子的頂端到地面的距離多1m,設(shè)梯子的底端到墻面的距離是x m,可得方程
設(shè)計(jì)意圖:因?yàn)閿?shù)學(xué)來源與生活,所以以學(xué)生的實(shí)際生活背景為素材創(chuàng)設(shè)情景,易于被學(xué)生接受、感知。讓學(xué)生從實(shí)際問題中提煉出數(shù)學(xué)問題,初步培養(yǎng)學(xué)生的空間概念和抽象能力。情景分析中學(xué)生自然會(huì)想到用方程來解決問題,但所列的方程不是以前學(xué)過的,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望,順利地進(jìn)入新課。
三、探究學(xué)習(xí):
1、概念得出
討論交流:以上所列方程有哪些共同特征?
設(shè)計(jì)意圖:英國一位著名的數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家曾說:概念的教學(xué)要從大量實(shí)例出發(fā),通過實(shí)例幫助完成定義,而不是教定義。讓學(xué)生充分感受所列方程的特點(diǎn),再通過類比的方法得到定義,從而達(dá)到真正理解定義的目的.
2、鞏固概念
下列方程中那些是一元二次方程。
設(shè)計(jì)意圖:
這組練習(xí)目的在于鞏固學(xué)生對(duì)一元二次方程定義中3個(gè)特征的理解.題目的設(shè)置,目的在于進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)定義的掌握,提高學(xué)生對(duì)變式的理解能力.此環(huán)節(jié)采取搶答的'形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.
3、一元二次方程的一般形式:
設(shè)計(jì)意圖:此環(huán)節(jié)讓學(xué)生通過自主探究,類比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和項(xiàng),系數(shù)的概念,從而達(dá)到真正理解并掌握的目的.
4.典型例題
例將下列方程化為一元二次方程的一般形式,并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)
設(shè)計(jì)意圖:此題設(shè)置的目的在于加深學(xué)生對(duì)一般形式的理解。
5.鞏固練習(xí)
把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)
設(shè)計(jì)意圖:此題設(shè)置的目的在于加深學(xué)生對(duì)一般形式的理解
6、拓展應(yīng)用
。1)、若是關(guān)于x的一元二次方程,則()
A、p為任意實(shí)數(shù)B、p=0 C、p≠0 D、p=0或1
。2)、若關(guān)于x的方程mx
-2x+1=2x(x-1)是一元二次方程,那么m的取值范圍是
(3)、若方程是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值為
設(shè)計(jì)意圖:此題讓學(xué)生進(jìn)行思考,討論,讓學(xué)生進(jìn)行講解,教師作適當(dāng)歸納,可留疑,讓學(xué)生課下思考。此題需進(jìn)行分類討論,開拓學(xué)生思維,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
7.課堂小結(jié)
設(shè)計(jì)意圖:小結(jié)反思中,不同學(xué)生有不同的體會(huì),要尊重學(xué)生的個(gè)體差異,激發(fā)學(xué)生主動(dòng)參與意識(shí),.為每個(gè)學(xué)生都創(chuàng)造了數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的機(jī)會(huì)。
【課后作業(yè)】
1、下列方程中哪些是一元二次方程?試說明理由。
2、將下列方程化為一般形式,并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng):
一元二次方程教案15
一、教學(xué)目標(biāo)
1.使學(xué)生會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間關(guān)系的應(yīng)用題。
2.通過列方程解應(yīng)用問題,進(jìn)一步體會(huì)提高分析問題、解決問題的能力。
3.通過列方程解應(yīng)用問題,進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)中方程的思想方法解應(yīng)用問題的優(yōu)越性。
二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1.教學(xué)重點(diǎn):會(huì)用列一元二次方程的方法解有關(guān)數(shù)與數(shù)字之間的關(guān)系的應(yīng)用題。
2.教學(xué)難點(diǎn):根據(jù)數(shù)與數(shù)字關(guān)系找等量關(guān)系。
3.教學(xué)疑點(diǎn):學(xué)生對(duì)列一元二次方程解應(yīng)用問題中檢驗(yàn)步驟的理解。
4.解決辦法:列方程解應(yīng)用題,就是先把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對(duì)實(shí)際問題的解決。列方程解應(yīng)用題,最重要的是審題,審題是列方程的`基礎(chǔ),而列方程是解題的關(guān)鍵,只有在透徹理解題意的基礎(chǔ)上,才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù),準(zhǔn)確找出已知量與未知量之間的等量關(guān)系,正確地列出方程。
三、教學(xué)過程
1.復(fù)習(xí)提問
。1)列方程解應(yīng)用問題的步驟?
、賹忣},②設(shè)未知數(shù),③列方程,④解方程,⑤答。
(2)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的表示方法是,(n表示整數(shù))
2.例題講解
例1 兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323,求這兩個(gè)數(shù)。
分析:(1)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)中較大的奇數(shù)與較小奇數(shù)之差為2,(2)設(shè)元(幾種設(shè)法)a.設(shè)較小的奇數(shù)為x,則另一奇數(shù)為,b.設(shè)較小的奇數(shù)為,則另一奇數(shù)為;c.設(shè)較小的奇數(shù)為,則另一個(gè)奇數(shù)。
以上分析是在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生回答,有三種設(shè)法,就有三種列法,找三位學(xué)生使用三種方法,然后進(jìn)行比較、鑒別,選出最簡單解法。
解法(一) 設(shè)較小奇數(shù)為x,另一個(gè)為,
據(jù)題意,得
整理后,得
解這個(gè)方程,得。
由得,由得,
答:這兩個(gè)奇數(shù)是17,19或者-19,-17。
解法(二) 設(shè)較小的奇數(shù)為,則較大的奇數(shù)為。
據(jù)題意,得
整理后,得
解這個(gè)方程,得。
當(dāng)時(shí),
當(dāng)時(shí),。
答:兩個(gè)奇數(shù)分別為17,19;或者-19,-17。 第 1 2 頁
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