相似三角形判定定理的證明
相似三角形判定定理的證明
一、教材題目：P102，T1-T4
1．如圖，在等邊三角形ABC中， D，E，F(xiàn)分別是三邊上的點(diǎn)，AE=BF=CD,那么△ABC 與△DEF相似嗎？請證明你的結(jié)論。
2．已知：如圖， ADDEAE??.求證：AB=AE。
ACABBC
3．已知：如圖，在△ABC中，D是AC邊上的一點(diǎn)，∠CBD的.平分線交AC于點(diǎn)E, 且AE=AB。
2求證：AE=AD·AC.
4.如圖，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動，速度為2cm/s,動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4cm/s.如果P,Q兩動點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？
二、補(bǔ)充題目：部分題目來源于《點(diǎn)撥》
1．如圖，BD，CE是△ABC的高，BD與CE交于點(diǎn)O，則圖中相似三角形有( ) A．4對 B．5對 C．6對 D．7對
(第1題)
(第2題)
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F，則下列比例式中，錯(cuò)誤的是( )
A．AD2＝BD·DC B．CD2＝CF·CA
C．DE2＝AE·BE D．AD2＝AF·AC
5．如圖，在△ABC中，BE和CD分別是邊AC，AB上的高，求證：△ADE∽△ACB.
(第5題)
答案
教材
1．解：相似．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.又∵AE＝BF＝CD，∴AB－AE＝BC－BF＝AC－CD，即BE＝FC＝AD.∴△AED≌△BFE≌△CDF.∴DE＝EF＝FD.∴△DEF是等邊三角形．∴△ABC∽△DEF.
ADDEAE2．證明：在△ADE和△CAB中，∵＝，∴△ADE∽△CAB(三邊成比例的兩個(gè)三角形ACABCB相似)．∴∠AED＝∠B.∴AB＝AE.
3．證明：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE，即∠EBC＋∠C＝∠ABD＋∠DBE.又∵BE平分∠CBD，
ABAD2∴∠DBE＝∠EBC.∴∠ABD＝∠C.又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB.∴＝.∴AB＝ACAB
AD·AC.∵AE＝AB，
2∴AE＝AD·AC.
4．解：設(shè)ts時(shí)△QBP與△ABC相似．此時(shí)AP＝2t cm，BQ＝4t cm，則PB＝(8－2t)cm.①當(dāng)
PBBQ8－2t4t△PBQ∽△ABC時(shí)，＝＝，解得t＝2，∴當(dāng)運(yùn)動2 s時(shí)，△QBP與△ABC相ABBC816
似；
PBBQ8－2t4t②當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，＝，解得t＝0.8，∴當(dāng)運(yùn)動0.8 s時(shí)，△QBP與BCAB168△ABC相似．
點(diǎn)撥
1．C 點(diǎn)撥：△ABD∽△ACE，△BOE∽△COD，△BOE∽△BAD，△COD∽△CAE，△BOE∽△CAE，△COD∽△BAD.
DAAF22．A 點(diǎn)撥：∵∠ADC＝∠DFA＝90°，∠DAF＝∠DAC，∴△DAF∽△CAD.∴＝＝CAAD
AF·CA.排除D選項(xiàng)．同理CD＝CF·CA，DE＝AE·BE，排除B，C選項(xiàng)，無法得到AD＝BD·DC.故選A.
5．證明：∵BE，CD分別為邊AC，AB上的高，∴∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，
AEAB∴△AEB∽△ADC，∴.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB. ADAC
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