二次根式

一、教學(xué)目標(biāo) 

1．了解二次根式的意義；

2. 掌握用簡(jiǎn)單的一元一次不等式解決二次根式中字母的取值問題；

3. 掌握二次根式的性質(zhì) 和 ，并能靈活應(yīng)用；

4．通過二次根式的計(jì)算培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；

5. 通過二次根式性質(zhì) 和 的介紹滲透對(duì)稱性、規(guī)律性的數(shù)學(xué)美.

二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：(1)二次根的意義；(2)二次根式中字母的取值范圍．

難點(diǎn)：確定二次根式中字母的取值范圍．

三、教學(xué)方法

啟發(fā)式、講練結(jié)合．

四、教學(xué)過程 

(一)復(fù)習(xí)提問

1．什么叫平方根、算術(shù)平方根？

2．說出下列各式的意義，并計(jì)算：

， ， ， ， ， ， ，

通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解平方根、算術(shù)平方根的概念．

觀察上面幾個(gè)式子的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)它們的被平方數(shù)都大于或等于零，其中 ，

， ， ， 表示的是算術(shù)平方根.

(二)引入新課

我們已遇到的 ， ， ，這樣的式子是我們這節(jié)課研究的內(nèi)容，引出：

新課：二次根式

定義： 式子 叫做二次根式.

對(duì)于 請(qǐng)同學(xué)們討論論應(yīng)注意的問題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：

（1）式子 只有在條件a≥0時(shí)才叫二次根式， 是二次根式嗎？ 呢？

若根式中含有字母必須保證根號(hào)下式子大于等于零，因此字母范圍的限制也是根式的一部分.

（2） 是二次根式，而 ，提問學(xué)生：2是二次根式嗎？顯然不是，因此二次

根式指的是某種式子的“外在形態(tài)”．請(qǐng)學(xué)生舉出幾個(gè)二次根式的例子，并說明為什么是二次根式．下面例題根據(jù)二次根式定義，由學(xué)生分析、回答．

例1 當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中哪些是二次根式？

分析： ， ， ， 、 、 、 四個(gè)是二次根式. 因?yàn)閍是實(shí)數(shù)時(shí)，a+10、a2-1不能保證是非負(fù)數(shù)，即a+10、a2-1可以是負(fù)數(shù)(如當(dāng)a＜-10時(shí)，a+10＜0；又如當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2-1＜0），因此， 與 不是二次根式.

例2 x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，式子 在實(shí)數(shù)范圍有意義？

解：略．

說明：這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上是在x是什么數(shù)時(shí)，x-3是非負(fù)數(shù)，式子 有意義．

例3  當(dāng)字母取何值時(shí)，下列各式為二次根式：

（1） (2) (3) (4)

分析：由二次根式的定義 ，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為解不等式．

解：(1)∵a、b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，都有a2+b2≥0，∴當(dāng)a、b為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 是二次根式.

（2）-3x≥0，x≤0，即x≤0時(shí)， 是二次根式.

（3） ，且x≠0，∴x＞0，當(dāng)x＞0時(shí)， 是二次根式.

（4） ，即 ，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x＞2.當(dāng)x＞2時(shí)， 是二次根式.

例4  下列各式是二次根式，求式子中的字母所滿足的條件：

（1） ； （2） ； （3） ； （4）

分析：這個(gè)例題根據(jù)二次根式定義，讓學(xué)生分析式子中字母應(yīng)滿足的條件，進(jìn)一步鞏固二次根式的定義，.即： 只有在條件a≥0時(shí)才叫二次根式，本題已知各式都為二次根式，故要求各式中的被開方數(shù)都大于等于零．

解：（1）由2a+3≥0，得 .

（2）由 ，得3a-1＞0，解得 .

（3）由于x取任何實(shí)數(shù)時(shí)都有|x|≥0，因此，|x|+0.1＞0，于是 ，式子 是二次根式. 所以所求字母x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有當(dāng)b=0時(shí)，才有b2=0，因此，字母b所滿足的條件是：b=0．

(三)小結(jié)(引導(dǎo)學(xué)生做出本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容小結(jié))

1．式子 叫做二次根式，實(shí)際上是一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)a的算術(shù)平方根的表達(dá)式．

2．式子中，被開方數(shù)(式)必須大于等于零．

(四)練習(xí)和作業(yè) 

練習(xí)：

1．判斷下列各式是否是二次根式

分析：（2） 中， ， 是二次根式；（5）是二次根式. 因?yàn)閤是實(shí)數(shù)時(shí)，x、x+1不能保證是非負(fù)數(shù)，即x、x+1可以是負(fù)數(shù)（如x＜0時(shí)，又如當(dāng)x＜-1時(shí)＝，因此（1）（3）（4）不是二次根式，（6）無意義.

2．a(chǎn)是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

五、作業(yè) 

教材P．172習(xí)題11．1；A組1；B組1．

六、板書設(shè)計(jì) 

二次根式

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