一元二次方程的解法

教學(xué)目標(biāo) 

1．  初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會(huì)用直接開平方法解形如 的方程；

2．  初步掌握用配方法解一元二次方程，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；

3．  掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運(yùn)用求根公式解一元二次方程；

4．  會(huì)用因式分解法解某些一元二次方程。

5．  通過對(duì)一元二次方程解法的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步獲得對(duì)事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的四種解法。

難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉�二次方程�?/p>

教學(xué)建議：

一、教材分析：

1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為 的形式來求解。配方時(shí)要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。

（2）熟記求根公式 （ ）和公式中字母的意義在使用求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn)：

1）把方程化為一般形式，并做到 、 、 之間沒有公因數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計(jì)算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù) 、 、 代入公式時(shí)，注意它們的符號(hào)。

3）當(dāng) 時(shí)，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點(diǎn)，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式分解法求解。這時(shí)只要使每個(gè)一次因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。

我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時(shí)，要認(rèn)真觀察方程的特征，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

二、教法建議

1． 教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

2. 注意培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)．教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo) 

1. 使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;

2. 在理解的基礎(chǔ)上，牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；

3. 在數(shù)學(xué)思想方法方面，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用配方法解一元二次方程。

難點(diǎn)：湊配成完全平方的方法與技巧。

教學(xué)過程 設(shè)計(jì)

一 復(fù)習(xí)

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)

2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?

(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

3.對(duì)于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了它們的解法。

特別是結(jié)合換元法，我們還會(huì)解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

例  解方程：(x-3) 2=4  (讓學(xué)生說出過程)。

解：方程兩邊開方，得  x-3=±2，移項(xiàng)，得  x=3±2。

所以  x1=5,x2=1.      (并代回原方程檢驗(yàn)，是不是根)

4.其實(shí)(x-3) 2=4是一個(gè)完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個(gè)展開過程寫在黑板上)

(x-3) 2=4,     ①

x2-6x+9=4,   ②

x2-6x+5=0.    ③

二 新課

1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m) 2=n的形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個(gè)未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m) 2。

2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問：在x2+2x上添加一個(gè)什么數(shù)，能成為一個(gè)完全平方(x+?)2。   (添一項(xiàng)+1)

 即   (x2+2x+1)=(x+1) 2.

練習(xí)，填空：

x2+4x+( )=(x+  ) 2;     y2+6y+(  )=(y+  ) 2.

算理  x2+4x=2x·2?，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3?，所以添3的平方。

總結(jié)規(guī)律：對(duì)于x2+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就能配出一個(gè)含未知數(shù)的一個(gè)次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

     (讓學(xué)生對(duì)④式的右邊展開，體會(huì)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍，恰是左邊的一次

項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)的平方，恰是配方時(shí)所添的常數(shù)項(xiàng))

  項(xiàng)固練習(xí)(填空配方)

     總之，左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

     問：如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號(hào)里第二項(xiàng)的正負(fù)號(hào)怎么取?算理是什么?

    鞏固練習(xí)(填空配方)

     x2-bx+(  )=(x-  ) 2;            x2-(m+n)x+(  )=(x-  ) 2.

一元二次方程的解法

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