普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教案

　　一、本模塊的內(nèi)容與地位作用

　　幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。立體幾何是幾何學(xué)的重要組成部分。為了使學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)世界中的具體實(shí)物抽象出幾何圖形，建立點(diǎn)、直線和平面的概念，培養(yǎng)他們的空間觀念和想象能力，以及運(yùn)用這些幾何知識(shí)解決問題的能力，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》把立體幾何的教學(xué)分成兩部分。第一部分是在必修課程的立體幾何初步中，將從現(xiàn)實(shí)世界中具體實(shí)物的整體觀察入手，認(rèn)識(shí)最基本的空間幾何圖形（柱、錐、臺(tái)、球）及其直觀圖的畫法，并了解這些簡單幾何體的表面積與體積的計(jì)算方法。然后，再以長方體為載體，直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面的概念及其相互位置關(guān)系；通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解有關(guān)直線和平面平行、垂直的性質(zhì)與判定，論證一些有關(guān)空間直線和平面位置關(guān)系的簡單命題。第二部分是在選修課程的系列2-1中，與空間中向量的學(xué)習(xí)相結(jié)合，進(jìn)一步論證和解決一些有關(guān)空間圖形的位置關(guān)系和度量問題。

　　本冊(cè)教科書的第一章，通過較多的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生觀察自己身邊現(xiàn)實(shí)世界中的建筑和實(shí)際物體，認(rèn)識(shí)它們都是由柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體構(gòu)成的立體圖形，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生能夠運(yùn)用這些特征去描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。在這一章中，還要求學(xué)生學(xué)習(xí)繪制簡單空間圖形的三視圖和直觀圖，了解柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式，目的是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展空間觀念和想象能力，畫圖的要求不像學(xué)習(xí)機(jī)械制圖那樣嚴(yán)格，計(jì)算公式也不要求學(xué)生記憶。

　　在第二章中，改變了以往教學(xué)立體幾何的順序，沒有從抽象的概念出發(fā)，推導(dǎo)點(diǎn)、直線和平面的相互位置關(guān)系，而是借助直觀具體的實(shí)物或長方體模型，讓學(xué)生通過一系列的實(shí)際活動(dòng)，直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識(shí)點(diǎn)、直線和平面的垂直與平行等相互位置關(guān)系。使學(xué)生經(jīng)歷了從直觀到抽象，從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，既學(xué)習(xí)了立體幾何的知識(shí)，發(fā)展空間觀念，又循序漸進(jìn)地培養(yǎng)了學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力。

　　解析幾何是通過坐標(biāo)系，把幾何中的點(diǎn)與代數(shù)的基本研究對(duì)象（有序數(shù)對(duì)）對(duì)應(yīng)，建立圖形（曲線）與方程的對(duì)應(yīng)，從而把幾何與代數(shù)緊密結(jié)合起來，用代數(shù)方法解決幾何問題。這是數(shù)學(xué)的重大進(jìn)步�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》在必修課程的解析幾何初步中，教學(xué)在平面直角坐標(biāo)系中，建立直線的代數(shù)方程和圓的代數(shù)方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，并要求學(xué)生初步了解空間直角坐標(biāo)系。

　　本冊(cè)教科書的第三章，從平面上確定直線的幾何要素入手，認(rèn)識(shí)到由平面上的一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向（用傾斜角的斜率表示），或者是平面上的兩個(gè)點(diǎn)（等同于一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向），就可以確定一條直線，再依據(jù)兩條直線方程的斜率，判定它們是否平行或相互垂直。接著引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出平面上直線的方程，從點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式到一般式，并說明在平面直角坐標(biāo)系中，一切直線的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示一條直線。在這一章中，還通過點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程，研究了兩點(diǎn)之間的距離公式，以及點(diǎn)到直線的距離公式。由此，使學(xué)生初步學(xué)會(huì)運(yùn)用代數(shù)的方法解決一些平面幾何問題。

　　本冊(cè)教科書的第四章，從平面上確定一個(gè)圓的幾何要素入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)的語言描述圓，得到圓心為C（a，b），半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x－a）2 + （y－b）2 = r2，然后再對(duì)其變形，得到圓的一般方程。然后在前一章的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系，并解決一些有關(guān)的平面幾何問題，使學(xué)生體會(huì)運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。最后這一章還向?qū)W生介紹了空間直角坐標(biāo)系，為今后學(xué)習(xí)空間中的向量和運(yùn)用代數(shù)方法解決空間的幾何問題打下基礎(chǔ)。

　　二、編寫中考慮的幾個(gè)問題

　　1．立體幾何的內(nèi)容安排，遵循從整體到局部、具體到抽象的原則。先從現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物講空間幾何體，再從空間幾何體的整體結(jié)構(gòu)，講構(gòu)成空間幾何體的點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。

　　與以往教學(xué)立體幾何的內(nèi)容體系相比，本冊(cè)教科書立體幾何的內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)有重大改革。以往立體幾何教學(xué)，常從研究點(diǎn)、直線和平面開始，先講它們之間的位置關(guān)系和有關(guān)公理、定理，再研究由它們組成的幾何體的結(jié)構(gòu)特征，幾何體的體積、表面積等等，基本上是從局部到整體。現(xiàn)在，是先從對(duì)空間幾何體的整體感受入手，再研究組成空間幾何體的點(diǎn)、直線和平面。這種安排有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當(dāng)減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學(xué)習(xí)入門的門檻，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。

　　第一章和第二章是一個(gè)有機(jī)的整體，第二章講完后，可引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)、直線、平面的角度重新認(rèn)識(shí)空間幾何體，把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征有更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

　　2．強(qiáng)調(diào)幾何直觀，滲透公理化思想，進(jìn)行適當(dāng)?shù)膸缀瓮评?/p>

　　立體幾何實(shí)際上與學(xué)生的聯(lián)系非常密切，很多實(shí)物都可以看成是各式各樣的空間幾何體，這些物體的棱與棱、棱與面、面與面之間的關(guān)系，實(shí)際上就是直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系。學(xué)習(xí)時(shí)，一方面要引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，把知識(shí)與周圍的實(shí)物聯(lián)系起來，另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活中抽象出空間圖形的過程，注重探索空間圖形位置關(guān)系，抽象概括它們的判定與性質(zhì)。比如，在有關(guān)直線、平面平行與垂直判定定理的教學(xué)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、有條理的思考和推理等活動(dòng)，從多種角度認(rèn)識(shí)直線、平面平行與垂直的判定方法；在性質(zhì)定理的教學(xué)中，同樣不能忽視學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，進(jìn)行探究的過程。要引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理，來探索直線、平面的平行與垂直等性質(zhì)及其證明，然后再一步步地過渡到比較嚴(yán)格的證明。

　　立體幾何在構(gòu)建直觀、形象的數(shù)學(xué)模型方面有其獨(dú)特作用。圖形的直觀，不僅為學(xué)生感受、理解抽象的概念提供了有力的支撐，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力。

　　歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣，很久以來幾何學(xué)就成為訓(xùn)練邏輯推理的素材。然而就推理來說，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非“幾何”所獨(dú)有，它廣泛存在于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中。20世紀(jì)80年代以來，國際數(shù)學(xué)教育對(duì)幾何推理的要求發(fā)生了一些變化，從純粹的演繹推理轉(zhuǎn)向較少的演繹推理，更多地強(qiáng)調(diào)從具體情境或前提出發(fā)，進(jìn)行合情推理；從單純強(qiáng)調(diào)幾何的邏輯推理，轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價(jià)值，特別是幾何在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、試驗(yàn)、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價(jià)值。本冊(cè)教科書的第一、二兩章就特別注意，使學(xué)生一步一步地從特殊到一般，從具體到抽象，認(rèn)識(shí)空間直線和平面的位置關(guān)系，并在推理過程中逐步滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精神。

　　3．解析幾何的教學(xué)貫穿“坐標(biāo)法”的思想，突出解析幾何解決問題的“三部曲”

　　解析幾何的基本思想是“坐標(biāo)法”。當(dāng)我們用方程表示直線和圓，運(yùn)用方程研究直線、圓的的位置關(guān)系，研究兩條直線的交點(diǎn)、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離等問題時(shí)，都需要把幾何問題代數(shù)化，先用方程表示直線和圓，然后再通過代數(shù)運(yùn)算解決有關(guān)的位置關(guān)系問題。教科書結(jié)合大量的例題，突出用坐標(biāo)方法解決幾何問題的“三部曲”：

　　第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

　　第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；

　　第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。

　　4．加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想

　　解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，它溝通了代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。對(duì)于幾何中的直線，我們既從一次函數(shù)的角度研究它，又從方程的角度研究它，用數(shù)及其運(yùn)算作為工具，函數(shù)與方程對(duì)直線進(jìn)行了定量化描述，使對(duì)直線的研究由定性進(jìn)入到定量。平面直角坐標(biāo)系成為溝通平面幾何、函數(shù)、解析幾何的紐帶，對(duì)同一個(gè)問題可以從不同的角度去認(rèn)識(shí)。對(duì)圓的研究，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容之間的聯(lián)系，以及數(shù)形結(jié)合的思想。

　　數(shù)形結(jié)合中除由“形”到“數(shù)”，用“數(shù)”研究“形”外，還要注意代數(shù)問題的幾何背景，即“數(shù)”到“形”的方面，如函數(shù)圖象與直角坐標(biāo)系x軸的交點(diǎn)，直線的斜率與直線的方向和傾角等等。這也是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)重要方面。

　　三、對(duì)教學(xué)的幾個(gè)建議

　　1．認(rèn)真把握《普通高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》的教學(xué)要求

　　與以往的立體幾何教學(xué)要求相比，本冊(cè)教科書在幾何推理證明方面的教學(xué)要求大大降低了，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，減少了定理的數(shù)量，刪去了大量的幾何證明題，淡化了幾何證明的技巧，對(duì)于直線、平面平行和垂直的判定定理只需通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證的方式歸納得出，不進(jìn)行系統(tǒng)的推理證明。同時(shí)大大地加強(qiáng)了對(duì)于空間圖形的整體認(rèn)識(shí)和把握，從看實(shí)物到想圖形、再從三視圖或直觀圖到想象空間圖形；然后從空間圖形的整體，到把握直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，更加強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，以及聯(lián)系實(shí)際運(yùn)用幾何知識(shí)，觀察和解決現(xiàn)實(shí)世界中有關(guān)圖形的問題。

　　在解析幾何初步的內(nèi)容中，應(yīng)注意結(jié)合具體的圖形（直線和圓），引導(dǎo)學(xué)生探索在平面上確定這些圖形的幾何要素，推導(dǎo)出它們的代數(shù)方程，進(jìn)而運(yùn)用方程研究它們?cè)谄矫嫔系奈恢靡约跋嗷リP(guān)系，體會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問題的思想。教學(xué)中要注意控制難度，避免進(jìn)行綜合性強(qiáng)、難度較大的數(shù)學(xué)題的訓(xùn)練，避免在解題技巧上做文章。比如，義務(wù)教育階段“空間與圖形”部分涉及的許多結(jié)論都可以用坐標(biāo)法來加以證明，而義務(wù)教育階段的教學(xué)要求現(xiàn)已有所改變。因此，用坐標(biāo)法證明平面幾何題要求不宜過高，適可而止。另外，傳統(tǒng)的解析幾何內(nèi)容安排在三角函數(shù)后面，而現(xiàn)在安排在三角函數(shù)之前。當(dāng)用到相關(guān)三角函數(shù)時(shí)，只在邊空給出提示，讓學(xué)生作為結(jié)論直接使用，不給出證明。例如，，，這些結(jié)論放在數(shù)學(xué)4時(shí)補(bǔ)證。

　　2．承上啟下，注意相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的聯(lián)系。通過不同數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系與啟發(fā)，強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的運(yùn)用

　　本冊(cè)內(nèi)容的起點(diǎn)是義務(wù)教育階段“空間與圖形”的相關(guān)知識(shí)，特別是“空間幾何體”的內(nèi)容。在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》“空間與圖形”的視圖與投影內(nèi)容中包括：

　　（1）會(huì)畫基本幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），會(huì)判斷簡單物體的三視圖，能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌�型�?/p>

　　（2）了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷和制作立體模型；

　　（3）了解基本幾何體與其三視圖、展開圖（球除外）之間的關(guān)系，通過典型實(shí)例，知道這種關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用（如物體的包裝）；

　　（4）通過實(shí)例了解中心投影和平行投影。

　　教學(xué)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)回顧上述知識(shí)內(nèi)容，在義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)。按照“畫法”→“算法” →“證法”展開知識(shí)內(nèi)容。

　　數(shù)學(xué)2同時(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)4中的平面向量，數(shù)學(xué)5中的解三角形，選修1-1和選修2-1中的圓錐曲線與方程，選修3-1數(shù)學(xué)史選講中的部分專題，選修3-3球面上的幾何，選修3-5歐拉公式與閉曲面分類，選修3-6三等分角與數(shù)域擴(kuò)充，選修4-1幾何證明選講，選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程等幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)。

　　在每章“小結(jié)”中，利用數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，使不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容相互溝通，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)水平。特別地，在教科書中強(qiáng)調(diào)類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法，盡最大可能展示以下常用的邏輯思考方法。給出與本章知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系的邏輯圖，讓學(xué)生從更高、更廣的角度認(rèn)識(shí)每章的地位作用。

　　3．關(guān)注現(xiàn)代信息技術(shù)的運(yùn)用

　�。�1）通過現(xiàn)代信息技術(shù)，如計(jì)算機(jī)、網(wǎng)絡(luò)等展示豐富的圖片，讓學(xué)生感受大量的實(shí)物，抽象出空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征。

　�。�2）運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)和有關(guān)軟件，制作一些課件，如動(dòng)態(tài)演示空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，空間中的平行與垂直關(guān)系，等等。

　�。�3）平面解析幾何是一門典型的數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科，信息技術(shù)在加強(qiáng)幾何直觀，促使數(shù)與形結(jié)合方面有著特殊的作用。借助信息技術(shù)，可以形象、直觀地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)所研究的曲線。在動(dòng)態(tài)演示中，觀察曲線的性質(zhì)，在直觀了解的基礎(chǔ)上，尋求形成這些性質(zhì)的原因以及代數(shù)表示。通過對(duì)方程的研究，了解曲線與曲線的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用信息技術(shù)，可以進(jìn)一步驗(yàn)證得到的結(jié)果，為抽象的認(rèn)識(shí)增添了形象的支持。在探究點(diǎn)的軌跡時(shí)，可以借助信息技術(shù)，探究軌跡的形狀等等。

　　4．關(guān)注“觀察”、“思考”、“探究”以及“閱讀與思考”、 “探究與發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目以及邊空的作用

　　本套教科書在體例結(jié)構(gòu)上有重大改革，增添了許多欄目，教學(xué)中要注意發(fā)揮邊空這些欄目的作用。

　　問題是創(chuàng)新的關(guān)鍵，在知識(shí)形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，通過“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，提出恰當(dāng)?shù)�、�?duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。

　　設(shè)置“觀察與猜想”“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”“信息技術(shù)應(yīng)用”等欄目，為學(xué)生提供豐富的具有思想性、實(shí)踐性、挑戰(zhàn)性的，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的選學(xué)材料，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間，發(fā)展學(xué)生“做數(shù)學(xué)”、“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)。

　　在邊空中，用“問號(hào)型”圖標(biāo)提出數(shù)學(xué)知識(shí)形成過程中的具體問題，以旁批方式強(qiáng)調(diào)重要的數(shù)學(xué)思想方法或知識(shí)點(diǎn)。

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