考研數學 微積分極限微分復習小結

一、多元函數(主要是二元、三元)的偏導數和全微分概念;

　　二、偏導數和全微分的計算，尤其是求復合函數的二階偏導數及隱函數的偏導數;

　　三、方向導數和梯度(只對數學一要求);

　　四、多元函數微分在幾何上的應用(只對數學一要求);

　　五、多元函數的極值和條件極值。

　　本章的常見題型有：

　　1.求二元、三元函數的偏導數、全微分。

　　2.求復全函數的二階偏導數;隱函數的一階、二階偏導數。

　　3.求二元、三元函數的方向導數和梯度。

　　4.求空間曲線的切線與法平面方程，求曲面的切平面和法線方程。

　　5.多元函數的極值在幾何、物理與經濟上的應用題。

　　第4類題型，是多元函數的微分學與前一章向量代數與空間解析幾何的綜合題，應結合起來復習。

　　極值應用題多要用到其他領域的知識，特別是在經濟學上的應用涉及到經濟學上的一些概念和規(guī)律，讀者在復習時要引起注意。

　　一元函數微分學在微積分中占有極重要的位置，內容多，影響深遠，在后面絕大多數章節(jié)要涉及到它。

　　本章內容歸納起來，有四大部分。

　　1.概念部分，重點有導數和微分的定義，特別要會利用導數定義講座分段函數在分界點的可導性，高階導數，可導與連續(xù)的關系;

　　2.運算部分，重點是基本初等函的導數、微分公式，四則運算的導數、微分公式以及反函數、隱函數和由參數方程確定的函數的求導公式等;

　　3.理論部分，重點是羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理;

　　4.應用部分，重點是利用導數研究函數的性態(tài)(包括函數的單調性與極值，函數圖形的凹凸性與拐點，漸近線)，最值應用題，利用洛必達法則求極限，以及導數在經濟領域的應用，如“彈性”、“邊際”等等。

　　常見題型有：

　　1.求給定函數的導數或微分(包括高階段導數)，包括隱函數和由參數方程確定的函數求導。

　　2.利用羅爾定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理證明有關命題和不等式，如“證明在開區(qū)間至少存在一點滿足……”，或討論方程在給定區(qū)間內的根的個數等。

　　此類題的證明，經常要構造輔助函數，而輔助函數的構造技巧性較強，要求讀者既能從題目所給條件進行分析推導逐步引出所需的輔助函數，也能從所需證明的結論(或其變形)出發(fā)“遞推”出所要構造的輔函數，此外，在證明中還經常用到函數的單調性判斷和連續(xù)數的介值定理等。

　　3.利用洛必達法則求七種未定型的極限。

　　4.幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用題，解這類問題，主要是確定目標函數和約束條件，判定所論區(qū)間。

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