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考研數(shù)學(xué)最后備考期知識(shí)點(diǎn)梳理
中國(guó)大學(xué)網(wǎng)|考研到了最后兩天，這個(gè)時(shí)候考生在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，千萬(wàn)不要再大量做題了，應(yīng)該回歸教材，理清基本的知識(shí)點(diǎn)，梳理整個(gè)學(xué)科的知識(shí)框架。保持良好的心態(tài)，以最好的狀態(tài)走上考場(chǎng)。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)了考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，希望能對(duì)廣大能有所幫助。從整個(gè)學(xué)科上來(lái)看，高數(shù)實(shí)際上是圍繞著極限、導(dǎo)數(shù)和積分這三種基本的運(yùn)算展開(kāi)的。對(duì)于每一種運(yùn)算，我們首先要掌握它們主要的計(jì)算方法；熟練掌握計(jì)算方法后，再思考利用這種運(yùn)算我們還可以解決哪些問(wèn)題，比如會(huì)計(jì)算極限以后：那么我們就能解決函數(shù)的連續(xù)性，函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi)，導(dǎo)數(shù)的定義這些問(wèn)題。這樣一梳理，整個(gè)高數(shù)的邏輯體系就會(huì)比較清晰。
極限部分：
極限的計(jì)算方法很多，總結(jié)起來(lái)有十多種，這里我們只列出主要的：四則運(yùn)算，等價(jià)無(wú)窮小替換，洛必達(dá)法則，重要極限，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調(diào)有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細(xì)的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對(duì)應(yīng)的章節(jié)看一看。
會(huì)計(jì)算極限之后，我們來(lái)說(shuō)說(shuō)直接通過(guò)極限定義的基本概念：
通過(guò)極限，我們定義了函數(shù)的連續(xù)性：函數(shù)在處連續(xù)的定義是，根據(jù)極限的定義，我們知道該定義又等價(jià)于。所以討論函數(shù)的連續(xù)性就是計(jì)算極限。然后是間斷點(diǎn)的分類(lèi)，具體標(biāo)準(zhǔn)如下：
從中我們也可以看出，討論函數(shù)間斷點(diǎn)的分類(lèi)，也僅需要計(jì)算左右極限。
再往后就是導(dǎo)數(shù)的定義了，函數(shù)在處可導(dǎo)的定義是極限存在，也可以寫(xiě)成極限存在。這里的極限式與前面相比要復(fù)雜一點(diǎn)，但本質(zhì)上是一樣的。最后還有可微的定義，函數(shù)在處可微的定義是存在只與有關(guān)而與 無(wú)關(guān)的常數(shù)使得時(shí)，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)和可微是等價(jià)的，它們都強(qiáng)于函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。
以上就是極限這個(gè)體系下主要的知識(shí)點(diǎn)。
導(dǎo)數(shù)部分：
導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)其定義計(jì)算，比如對(duì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)。但更多的時(shí)候，我們是直接通過(guò)各種求導(dǎo)法則來(lái)計(jì)算的。主要的求導(dǎo)法則有下面這些：四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，變上限積分求導(dǎo)。其中變上限積分求導(dǎo)公式本質(zhì)上應(yīng)該是積分學(xué)的內(nèi)容，但出題的時(shí)候一般是和導(dǎo)數(shù)這一塊的知識(shí)點(diǎn)一起出的，所以我們就把它歸到求導(dǎo)法則里面了。能熟練運(yùn)用這些基本的求導(dǎo)法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算：隱函數(shù)求導(dǎo)，參數(shù)方程求導(dǎo)。我們對(duì)導(dǎo)數(shù)的要求是不能有不會(huì)算的導(dǎo)數(shù)。這一部分的題目往往不難，但計(jì)算量比較大，需要考生有較高的熟練度。
然后是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)主要有如下幾個(gè)方面的應(yīng)用：切線，單調(diào)性，極值，拐點(diǎn)。每一部分都有一系列相關(guān)的定理，考生自行回顧一下。這中間導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系是核心的考點(diǎn)，考試在考查這一塊時(shí)主要有三種考法：①求單調(diào)區(qū)間或證明單調(diào)性；②證明不等式；③討論方程根的個(gè)數(shù)。同時(shí)，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系還是理解極值與拐點(diǎn)部分相關(guān)定理的基礎(chǔ)。另外，數(shù)學(xué)三的考生還需要注意導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用；數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生還要掌握曲率的計(jì)算公式。
積分部分：
一元函數(shù)積分學(xué)首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計(jì)算定積分的基礎(chǔ)。對(duì)于不定積分，我們主要掌握它的計(jì)算方法：第一類(lèi)換元法，第二類(lèi)換元法，分部積分法。這三種方法要融會(huì)貫通，掌握各種常見(jiàn)形式函數(shù)的積分方法。熟練掌握不定積分的計(jì)算技巧之后再來(lái)看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對(duì)定積分的定義的要求其實(shí)就是兩個(gè)方面：會(huì)用定積分的定義計(jì)算一些簡(jiǎn)單的極限；理解微元法(分割、近似、求和、取極限)。至于可積性的嚴(yán)格定義，考生沒(méi)有必要掌握。然后是定積分這一塊相關(guān)的定理和性質(zhì)，這中間我們就提醒考生注意兩個(gè)定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個(gè)定理的條件要記清楚，證明過(guò)程也要掌握，考試都直接或間接地考過(guò)。至于定積分的計(jì)算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)然還可以利用一些定積分的特殊性質(zhì)(如對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分)。一般來(lái)說(shuō)，只要不定積分的計(jì)算沒(méi)問(wèn)題，定積分的計(jì)算也就不成問(wèn)題。定積分之后還有個(gè)廣義積分，它實(shí)際上就是把積分過(guò)程和求極限的過(guò)程結(jié)合起來(lái)了�？荚噷�(duì)這一部分的要求不太高，只要掌握常見(jiàn)的廣義積分收斂性的判別，再會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算就可以了。
會(huì)計(jì)算積分了，再來(lái)看一看定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用分為幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用。其中幾何應(yīng)用包括平面圖形面積的計(jì)算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算，曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算，旋轉(zhuǎn)曲面面積的計(jì)算。物理應(yīng)用主要是一些常見(jiàn)物理量的計(jì)算，包括功，壓力，質(zhì)心，引力，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。其中數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二的考生需要全部掌握；數(shù)學(xué)三的考生只需掌握平面圖形面積的計(jì)算，簡(jiǎn)單的幾何體(主要是旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算。這一部分題目的綜合性往往比較強(qiáng)，對(duì)考生綜合能力要求較高。
這就是高等數(shù)學(xué)整個(gè)學(xué)科從三種基本運(yùn)算的角度梳理出來(lái)的主要知識(shí)點(diǎn)。除此之外，考生需要掌握的知識(shí)點(diǎn)還有多元函數(shù)微積分，它實(shí)際上是將一元函數(shù)中的極限，連續(xù)，可導(dǎo)，可微，積分等概念推廣到了多元函數(shù)的情況，考生可以按照上面一樣的思路來(lái)總結(jié)。另外還有兩章：級(jí)數(shù)、微分方程。它們可以看做是對(duì)前面知識(shí)點(diǎn)綜合的應(yīng)用。比如微分方程，它實(shí)際上就是積分學(xué)的推廣，解微分方程就是求積分。而級(jí)數(shù)則是對(duì)極限，導(dǎo)數(shù)和積分各種知識(shí)的綜合應(yīng)用。
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