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2015考研數(shù)學(xué)：方程跟的個數(shù)問題(二)
縱觀考研數(shù)學(xué)多年來的考試大綱和考試真題試卷，總體上講變化不大。每年的考試范圍和知識點(diǎn)基本相同或相近，考試題型的變化幅度也不是很大，其中有一些重要題型是年年考或經(jīng)�？�，如果考生能完全掌握這些重要題型的解題思路和方法，并能熟練地解答這些題型，則對于順利地通過考研數(shù)學(xué)考試將有極大幫助。為了幫助各位考生學(xué)會并提高解答數(shù)學(xué)重要題型的水平，輔導(dǎo)老師針對歷年考研數(shù)學(xué)中的重要題型進(jìn)行深入解剖，分析提煉出各種�？贾匾}型及方法，供考生們參考。下面主要分析高等數(shù)學(xué)中關(guān)于方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法。
題型：方程根的個數(shù)問題(二)
方程 =0的根，也就是函數(shù) 的零點(diǎn)，有關(guān)方程根的問題一般可以利用函數(shù)的有關(guān)理論加以分析和解決。這類問題的主要分析解決工具包括：函數(shù)零點(diǎn)定理，函數(shù)單調(diào)性，羅爾中值定理。關(guān)于這些理論，在前一篇文章中已經(jīng)做了說明，下面主要看一些典型例題。
典型例題
例1.(2012年考研數(shù)學(xué)二第21題)
(Ⅰ)證明方程 ( 為整數(shù))在區(qū)間 內(nèi)有且僅有一個實(shí)根;
(Ⅱ)記(Ⅰ)中的實(shí)根為 ，證明 存在，并求此極限
解析：(Ⅰ)令 ，則 ， ， 連續(xù)，由零點(diǎn)定理得， 在區(qū)間 內(nèi)有一個實(shí)根，又 ， 在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，故 在區(qū)間 內(nèi)僅有一個實(shí)根。
(Ⅱ)由 ， 得 ，而 在(0，+∞)內(nèi)單調(diào)增加，故 ，即 單調(diào)減少，又 ，所以 存在，設(shè) ，則由 ，得 ，因?yàn)?，所以 ，上式取極限得 ，
例2.(2005年考研數(shù)學(xué)三第7題)
當(dāng) 取下列哪個值時，函數(shù) 恰有兩個不同的零點(diǎn)( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
解析：函數(shù)定義域?yàn)?-∞，+∞)，令 ，得 ，因?yàn)?，所以 為極大值， 為極小值。由 知，
當(dāng) 或 時， 恰有兩個不同的零點(diǎn)，解之得 或 ，應(yīng)選(B)
例3.(2000年考研數(shù)學(xué)一第九題)設(shè)函數(shù) 在[0,π]上連續(xù)，且 ， ，試證：在(0,π)內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn) ，使 .
證：分析：由條件 和推廣的中值定理易知，存在 ，問題的關(guān)鍵是怎么利用第二個條件。為此，令 ，則 ， ，由推廣的中值定理得，存在 ，使 ， ，而 ，分別在 上利用羅爾定理可得，存在 ，使 ，即 。
例4.設(shè) ，則 的不同實(shí)根個數(shù)為( )
解析：5個。由 ，根據(jù)羅爾定理知， 在區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)中各有1個實(shí)根，又x=3是 的二重根，故x=3是 的單根，同理，x=4是 的二重根。 是6次方程，共有6個實(shí)根(x=4是二重)，不同實(shí)根個數(shù)為5.
上面就是考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)中的方程根的個數(shù)問題這類重要題型及解題方法，供考生們參考借鑒。在以后的時間里，老師們還會陸續(xù)向考生們介紹其它常考重要題型及解題方法，希望各位考生留意查看。最后預(yù)祝各位學(xué)子在2015考研中取得佳績。
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