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APOS理論在圓錐曲線概念教學(xué)中的運用論文
摘 要：APOS理論強調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)要經(jīng)過“活動”、“過程”、“對象”、“圖式”四個階段。文章基于該理論提出了圓錐曲線概念教學(xué)的幾點建議：要樹立正確的教學(xué)觀并精心設(shè)計學(xué)習(xí)活動；要體現(xiàn)概念的形成過程并抓住概念的本質(zhì)；要通過練習(xí)、反復(fù)和總結(jié)來加深概念的理解；要重視信息技術(shù)工具的作用。
關(guān)鍵詞：APOS理論 圓錐曲線 概念教學(xué)
圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)相當(dāng)重要的內(nèi)容，而圓錐曲線概念本身不好理解，還包括許多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的下層概念，所以圓錐曲線就成了中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一。本文以美國教育學(xué)家杜賓斯基關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論為基礎(chǔ)，考察和分析學(xué)生對圓錐曲線概念的理解，并就圓錐曲線概念的教學(xué)做出了一些探討。
一、教學(xué)中要樹立正確的教學(xué)觀并精心設(shè)計學(xué)習(xí)活動
APOS理論強調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念中首先處理的數(shù)學(xué)問題要具有社會現(xiàn)實背景，并要求學(xué)生開展各種各樣的數(shù)學(xué)活動，活動中學(xué)生在已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)上通過思維運算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而達到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的。這就要求教師要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生親身體驗、建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。
案例1：橢圓概念教學(xué)的問題情境設(shè)計
（1）以“神州七號”飛船飛天為引例，用多媒體演示宇宙飛船繞地球運行的軌道錄像（設(shè)計意圖：通過錄像激發(fā)學(xué)生的愛國情緒，調(diào)動起好奇心，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)本課的興趣，使學(xué)生對橢圓有一個感性的認識）
�。�2）請學(xué)生舉出日常生活中橢圓的實例（設(shè)計意圖：使同學(xué)們發(fā)揮想象，充分調(diào)動起學(xué)習(xí)橢圓的興趣，使學(xué)生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學(xué)生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形，如有同學(xué)認為雞蛋是橢圓形的，實質(zhì)上它為橢球體）。
�。�3）實例演示：將西瓜垂直切下得到的截面是圓；改變角度傾斜切下得到的截面是橢圓（設(shè)計意圖：使橢圓更貼近日常生活，提高學(xué)生對橢圓的感性認識，活躍課堂氣氛）。
在學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線概念之前，也可設(shè)計一些與之相關(guān)的生活情境，通過這種活動（或操作），使學(xué)生初步理解圓錐曲線概念的意義，并充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。
但概念教學(xué)也不能僅僅停留于活動（操作）層面，對活動階段花大力氣、多時間，而對其他階段草草收場，這也是不符合理論的，甚至是舍本逐末的。
二、教學(xué)中要體現(xiàn)概念的形成過程，并抓住概念的本質(zhì)
從學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，APOS理論的四個學(xué)習(xí)層次分析反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實的思維過程，而過程階段在概念建立中的價值十分有意義。杜賓斯基等人認為，學(xué)生建立概念不能跨越“過程”這一階段。對“過程”，我們可以有三種理解：將數(shù)學(xué)概念從現(xiàn)實生活中抽象出來本身需要一段過程；將思考的結(jié)果，再以“過程”的形式呈現(xiàn)，這就有利于學(xué)生分析問題、解決問題；APOS理論最大的創(chuàng)新在于，將數(shù)學(xué)概念視為從一個實例到另一個實例的某種過程。這樣的過程可以使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念也有一個新的認識，從而改變對整個數(shù)學(xué)的看法。教師在過程階段誘導(dǎo)學(xué)生對過程的理解也有益于學(xué)生成長過程中價值觀的形成。 案例2：橢圓概念形成過程（經(jīng)歷活動——過程——對象階段）的教學(xué)設(shè)計
（1）教師演示畫橢圓（請兩位學(xué)生協(xié)助按住繩子兩端），邊畫邊強調(diào)畫橢圓的步驟，并請同學(xué)們注意在畫橢圓過程中筆尖一定要繃緊繩子（意圖：教師演示可向?qū)W生說明橢圓的具體畫法，同時也向?qū)W生展示了較標(biāo)準(zhǔn)的橢圓形）。
�。�2）全班同學(xué)以同桌為小組，合作親自動手去嘗試、去感受畫橢圓。
�。�3）展示學(xué)生畫的橢圓，并請學(xué)生用自己畫的橢圓說明：橢圓上的點到兩定點的距離跟繩長有什么關(guān)系？（意圖：通過實驗可以使學(xué)生對“滿足什么樣的條件下的點的集合為橢圓”有深刻的理解。一旦學(xué)生在此過程中認識到橢圓上的點到兩定點的距離之和等于繩長，他就已經(jīng)完成了過程模式的建構(gòu)。）
（4）用多媒體驗證學(xué)生歸納的結(jié)論：打開《幾何畫板》，請學(xué)生觀察M點在運動過程中|MF1|、|MF2|、|MF1+MF2|這些數(shù)值如何變化。
設(shè)問1：通過上述的實際操作和動畫演示，請問橢圓是滿足什么條件的點的軌跡？（讓學(xué)生歸納。）
�。�5）歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2距離之和等于常數(shù)l（l＞|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點F1、F2叫焦點，兩焦點的距離叫焦距。
設(shè)問2：為什么要|MF1|+|MF2|＞|F1F2|？反之，若|MF1|+|MF2|=|F1F2|、|MF1|+|MF2|＜|F1F2|會怎樣？（強調(diào)常數(shù)l＞|F1F2|，并請同學(xué)課后思考當(dāng)常數(shù)l≤|F1F2l時這些點的軌跡是什么？）
�。ㄒ鈭D：通過上述的學(xué)生實驗操作后，先請學(xué)生大膽探究、想象，再由教師動畫演示，揭示出橢圓形成的本質(zhì)，突出動點與兩定點的距離之和必須滿足大于兩定點的距離，加深對橢圓定義條件的理解，從而使學(xué)生對橢圓概念的理解從過程上升為對象。）
參考文獻
[1]唐艷基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2005.12。
[2]濮安山從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007.2。
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