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快速求解單項選擇題的方法和技巧的論文
[摘要]本文介紹了高等數(shù)學(xué)考試中單項選擇題的三種解題方法和技巧，同時指出在解題時除了要掌握各種解題方法和技巧外，更要注意每種技巧方法的條件要求。
[關(guān)鍵詞]直接法 排除法 特例法
高等數(shù)學(xué)考試中選擇題一般是單項選擇題。從目前情況看，學(xué)生在這部分得分率較低，分析其原因主要在于很多學(xué)生沒有很好地掌握做選擇題的解題方法和技巧。做單項選擇題常用的解題方法有三種：一是直接驗證某個選項正確，則其余選項必定不正確（不必驗證），這種方法稱為直接法。二是驗證其中三個不正確，則剩余的一個必定是正確的（也不必驗證），這種方法通常稱為排除法。三是根據(jù)題干中的條件，選取特殊的對象找出正確選項，這種方法通常稱為特例法。下面結(jié)合具體問題來說明如何利用這三種方法快速求解單項選擇題。
一、直接法
說明：直接法就是利用題干中的條件直接驗證某個選項正確，通常有兩種途經(jīng)：一種是利用題干中的條件直接計算或推演得出某個選項正確，這種方法通常稱為推演法；另一種方法是借助于幾何分析得出正確的選項，這種方法稱為幾何法。下面舉例說明推演法和幾何法的應(yīng)用。
1.推演法
提示：若題目中備選答案為“數(shù)值”或某種運算率，或題干給出的某種運算形式時，常用推演法。
[例1]設(shè)λ=2是非奇異矩陣A的一個特征值，則矩陣13A2-1有一個特征值等于（）
�。ˋ）43（B）34（C）12（D）14
解：注意到13A2-1=
�。ˋ-1）2由于λ為A的特征值，則A-1有特征值1λ，于是3（A-1）2有一個特征值3（12）2=34故應(yīng)選（B）
[例2]設(shè)f(x)為可導(dǎo)且以2為周期函數(shù)，滿足f(+x)+2f(1-x)=3x+sin2x則曲線f(x)在x=3處的切線斜率為（）
�。ˋ）0；（B）1；（C）2；（D）-1
解：因為f(x)可導(dǎo)，所以f(x)連續(xù)，固有l(wèi)imx→［f(1+x)+2f(1-x)］=3f(1)，從而
[例3]若隨機變量X與Y滿足D(X+Y)=D(X-Y)則必有()
(A)X與Y相互獨立 (B)D(Y)=0 (C)X與Y不相關(guān) (D)D(X)gD(Y)=0
解：
2.幾何法
提示：該方法適用于：高等數(shù)學(xué)中已知函數(shù)圖形特征（對稱性、奇偶性、漸進性、單調(diào)性、凸凹性）或概率中兩事件的概率關(guān)系（一般用文氏圖分析）或已知概率分布密度函數(shù)圖形特征的題目。利用幾何法解選擇題時，一定要對題目中所涉及概念的幾何意義非常清楚。
[例4]若f(-x)=f(x),x∈（-∞，+∞），在（-∞，0）內(nèi)f′（x）＞0且f″（x）＜0，則在（0，+∞）內(nèi)（）
解：由f(-x)=f(x)知，f(x)為偶函數(shù)，因此y=f(x)的圖形關(guān)于y軸對稱，而由在(-∞,0)內(nèi)f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，在(0,+∞)內(nèi)y=f(x)的圖形是單增下凹的，因此在(0,+∞)內(nèi)y=f(x)的圖形是單減下凹的，故應(yīng)選(C).
[例5]設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1)則()
解：由于相互獨立正態(tài)分布的隨機變量的線形組合任服從正態(tài)分布，且X+Y:N(1,22),X-Y:N(-1,22)由正態(tài)分布的幾何意義知，正態(tài)分布的密度函數(shù)關(guān)于均值左右對稱，則其小于均值的概率為12，因此正確選項為(B).
[例6]設(shè)隨機變量的密度函數(shù)是φ(x)，且φ(-x)=φ(x),F(X)是的分布函數(shù)，則對任意實數(shù)a，有( )
解:由φ(-x)=φ(x)知, φ(x)為偶函數(shù),其圖形關(guān)于y軸對稱,由幾何意義可設(shè)F(-a)=S,則S1+S2=12,因此.
二、排除法
說明：該方法通常用于由題干中的條件，不易判斷正確選項的選擇題，尤其適用于抽象函數(shù)的命題。一般做法是通過適當?shù)姆蠢懦徽_的選項后，得到正確的結(jié)果。
[例7]設(shè)f(x)處處可導(dǎo)，則( )
[例8]向量組α1，α2，…，α璵(m≥2)線性相關(guān)充分必要條件是（ ）
(A)其中每一個向量都是其余m-1個向量的線性組合;
(B)α1，α2，…，α璵中至少有一個是零向量;
(C)α1，α2，…，α璵中任意兩個向量成比例;
(D)α1，α2，…，α璵中存在一個向量可由其余m-1個向量線性表出.
解:若(A)成立,則α1，α2，…，α璵線性相關(guān)。但反之，α1，α2，…，α璵線性相關(guān)得不到每個向量都可由其余向量線性表出的結(jié)論。例如，α1=(1,0)琓，α2=(0,1)琓，α3=(1,0)琓線性相關(guān)，因為α3可由線性表出：α3=α1+0α2但α2不能由α1,α3表出。故(A)只是α1,α2,…，α3（m≥2）線性相關(guān)的充分條件，但不是必要條件。
若（B）成立,則α1，0，…，α璵線性相關(guān)。但反之，α1,α2，…，α璵線性相關(guān)，并不一定包含零向量，如上例。故(B)也是充分條件，但不是必要條件。
若(C)成立,即任意兩個向量成比例，得任意兩個向量線性相關(guān)。設(shè)α1,α2線性相關(guān)，增加向量個數(shù)到α1，α2，…，α璵仍然相關(guān)。反之，α1，α2，…，α璵線性相關(guān)。如上例α1=(1,0)琓，α2=(0,1)琓，α3=(1,0)琓線性相關(guān)。但α1,α2不成比例。
據(jù)向量組線性相關(guān)判別的充分必要條件，應(yīng)選(D)
[例9]設(shè)兩個函數(shù)f(x),g(x)都在x-a處取得極大值，則F(x)=f(x)g(x)在x=a處( )
(A)必取得極大值；(B)必取得極小值；(C)不可能取極值；(D)是否取極值不能確定.
解：令f(x)=g(x)=0,x=0,
-1,x≠0.顯然x=0是f(x),g(x)的極大值點，但F(x)=f(x)g(x)=0,X=0,
1,X≠0.可見x=0不是F(x)的極大值點，而是極小值點。故(A),(C)不對。令f(x)=g(x)=1,x=0,
0,x≠0.顯然x=0是f(x),g(x)的極大值點，但F(x)=f(x)g(x)=1,x=0,
0,x≠0.可見x=0是F(x)的極大值點，(B)不對。故應(yīng)選(D).
三、特例法
說明：該方法的適用范圍與排除法類似，但選項中的結(jié)論無不確定的選項。此時對抽象對象構(gòu)造符合題干條件的特殊例子，確定出正確的選項。
[例10]已知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且則在點x=0處f(x)( )
(A)不可導(dǎo)；(B)可導(dǎo)且f′(0)≠0；(C)取得極大值；(D)取得極小值.
解:由于當x→0時,1-玞os玿:x22,所以令f(x)=x2則f(x)符合條件。而f(x)在x=0處可導(dǎo)，f′(0)=0，取極小值，則正確選項為(D).
[例11]設(shè)A,B,A+B,A-1+B-1均為n階可逆矩陣，則(A-1+B-1)-1等于()
(A)A-1+B-1; (B)A+B; (C)A(A+B)-1B; (D)(A+B)-1.
解(1)：（常規(guī)解法）因為(A-1+B-1)-1=(A-1+B-1AA-1)-1=A(B-1B+B-1A)-1=A(A+B)-1B，故(C)正確。
解(2)：（特例法）取A=I,B=2I則(A-1+B-1)-1=23I直接計算應(yīng)選(C).
參考文獻：
[1]劉書田．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社, 2005．
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[4]同濟大學(xué)．高等數(shù)學(xué)[M]．北京：高等教育出版社, 2001．
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