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十字相乘法分解因式初探論文
在實數(shù)范圍內分解因式的常用方法有好多種初中數(shù)學論文初中數(shù)學論文，其中十字相乘法是常用的方法之一。但對于有些多項式直接應用這種方法是行不通的。本文給出了通過變形而轉化為直接應用這種方法的幾類多項式。
一、可化為二次三項式的多項式
可化為二次三項式的多項式用十字相乘法分解因式比其他方法有規(guī)律，所以簡便論文開題報告范文免費。舉例說明如下：
例1、把多項式a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1分 解因式。
這是含有兩個字母的高次多項式初中數(shù)學論文初中數(shù)學論文，由觀察知，該多項式具有可化為關于a的二次三項式的特點初中數(shù)學論文初中數(shù)學論文，故重新組合后用此法分解。
解：a2x3+a(2a+1)x2+a(a+2)x+a+1
化為關于a的二次三項式 (x3+2x2+x)a2+(x2+2x+1)a+1
=x(x+1)2a2+(x+1)2a+1
x(x+1) 1
x+11
=[x(x+1)a+1][(x+1)a+1]
=(ax2+ax+1)(ax+a+1).
例2、把多項式ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)分解因式。
這是輪換對稱多項式，乘開后可化為關于a或b或c的二次三項式。用十字相乘法分解因式就避免了用其他方法分解的繁難。
解:ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
化為關于c的 二次三項式 (a-b)c2-(a2-b2)c+ab(a-b)
=(a-b)[c2-(a+b)c+ab]
=(a-b)(c-a)(c-b).
例3 把多項式 (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4分解因式
將該式化為關于多項式x2+5xy+4y2 的二次三項式初中數(shù)學論文初中數(shù)學論文，分解更為簡便.
解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y4
=(x2+5xy+4y2)2+2y2(x2+5xy+4y2)-3y4
=[( x2+5xy+4y2)+ 3y2][(x2+5xy+4y2)-y2]
=(x2+5xy+7y2) (x2+5xy+3y2).
例4 把多項式a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2分解因式。
解: a4+b4+c4+2a2b2++2b2c2+2c2a2
化為關于a2的二次三項式a4+2(b2+c2)a2+(b4+2b2c2+c4)
=a4+2(b2+c2)a2+(b2+c2)2
=(a2+b2+c2)2
本例說明某些齊次式也可用這種方法分解因式。
二、二元二次多項式（注）（三元二次齊次式）
二元二次多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f在實數(shù)范圍內若能分解因式，則可分解為a1x+b1y+c1與a2x+b2y+c2的積論文開題報告范文免費。由待定系數(shù)法得a=a1a2, c=b1b2,f=c1c2, b=a1b2+a2b1,d=a1c2+a2c1, e=b1c2+b2c1.于是初中數(shù)學論文初中數(shù)學論文，由十字相乘法得
二次項ax2+bxy+cy2=(a1x+b1y)(a2x+b2y).
關于x的二次三項式ax2+dx+f=(a1x+c1)(a2x+c2)
關于y的二次三項式cy2+ey+f=(b1y+c1)(b2y+c2)
上述三式的因式分解可以表述成
a1b1 c1
a2 b2c2
由此，一個二元二次多項式如果系數(shù)間有上述關系，可用此法分解因式。
例1、把 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3分解因式。
解： 2x2-7xy-22y2-5x+35y-3
2 -111
12-3
=(2x-11y+1)(x+2y-3).
三元二次齊次式中，如果將第三個元看成常（系）數(shù)，也可用上述方法分解因式。
例2、把 2x2-3xy-5y2-11xz+31yz-6z2分解因式。
解：2x2-3xy-5y2-11xz+31yz-6z2
2-5z
1 1-6z
=(2x-5y+z)(x+y-6z).
[注] 二元二次多項式的因式分解也可以用一中講的方法去做。
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