高中數(shù)學(xué)正態(tài)分布綜合測試題及答案

　　一、選擇題

　　1．下列函數(shù)中，可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的是()

　　A．f(x)＝12e－(x－1)22

　　B．f(x)＝12e(x－2)222

　　C．f(x)＝12e－(x－)222

　　D．f(x)＝12e－(x－

　　[答案] A

　　2．已知～N(0,62)，且P(－20)＝0.4，則P(2)等于()

　　A．0.1 B．0.2

　　C．0.6 D．0.8

　　[答案] A

　　[解析] 由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)知P(02)＝0.4，P(－22)＝0.8，P(2)＝12(1－0.8)＝0.1，故選A.

　　3．若隨機(jī)變量～N(2,100)，若落在區(qū)間(－，k)和(k，＋)內(nèi)的概率是相等的，則k等于()

　　A．2 B．10

　　C.2 D．可以是任意實(shí)數(shù)

　　[答案] A

　　[解析] 由于的取值落在(－，k)和(k，＋)內(nèi)的概率是相等的，所以正態(tài)曲線在直線x＝k的左側(cè)和右側(cè)與x軸圍成的面積應(yīng)該相等，于是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝k對稱，即＝k，而＝2.k＝2.

　　4．已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)()

　　A．(90,110] B．(95,125]

　　C．(100,120] D．(105,115]

　　[答案] C

　　[解析] 由于X～N(110,52)，＝110，＝5.

　　因此考試成績在區(qū)間(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分別應(yīng)是0.6826,0.9544,0.9974.

　　由于一共有60人參加考試，

　　成績位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是：

　　600.682641人，600.954457人，

　　600.997460人．

　　5．(2010山東理，5)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(0，2)，P(2)＝0.023，則P(－22)＝()

　　A．0.477 B．0.628

　　C．0.954 D．0.977

　　[答案] C

　　[解析] ∵P(2)＝0.023，P(－2)＝0.023，

　　故P(－22)＝1－P(2)－P(－2)＝0.954.

　　6．以(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－，x)內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布(，2)，則概率P(||)等于()

　　A．＋)－－)

　　B．(1)－(－1)

　　C．1－

　　D．2＋)

　　[答案] B

　　[解析] 設(shè)＝||，則P(||)＝P(|1)

　�。�(1)－(－1)．

　　[點(diǎn)評] 一般正態(tài)分布N(，2)向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)轉(zhuǎn)化．

　　7．給出下列函數(shù)：①f(x)＝12e－(x＋)222；②f(x)＝12e－(x－)24；③f(x)＝12e－x24；④f(x)＝1e－(x－)2，其中(－，＋)，＞0，則可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)的個(gè)數(shù)有()

　　A．1 B．2

　　C．3 D．4

　　[答案] C

　　[解析] 對于①，f(x)＝12e－(x＋)222.由于(－，＋)，所以－(－，＋)，故它可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)；對于②，若＝1，則應(yīng)為f(x)＝12e－(x－)22.若＝2，則應(yīng)為f(x)＝122e－(x－)24，均與所給函數(shù)不相符，故它不能作為正態(tài)分布密度函數(shù)；對于③，它就是當(dāng)＝2，＝0時(shí)的正態(tài)分布密度函數(shù)；對于④，它是當(dāng)＝22時(shí)的正態(tài)分布密度函數(shù)．所以一共有3個(gè)函數(shù)可以作為正態(tài)分布密度函數(shù)．

　　8．(2008安徽)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，21)(0)和N(2，22)(0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()

　　A．2，2

　　B．2，2

　　C．2，2

　　D．2，2

　　[答案] A

　　[解析] 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：對稱軸方程x＝，表示總體分布的分散與集中．由圖可得，故選A.

　　二、填空題

　　9．正態(tài)變量的概率密度函數(shù)f(x)＝12e－(x－3)22，xR的圖象關(guān)于直線________對稱，f(x)的最大值為________．

　　[答案] x＝3 12

　　10．已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(－3，－1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為________．

　　[答案] 1

　　[解析] 正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間里的概率相等，說明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線下方的面積相等．另外，因?yàn)閰^(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)的長度相等，說明正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對稱的．

　　∵區(qū)間(－3，－1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于直線x＝1對稱，所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望就是1.

　　11．在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1，2)(0)，若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在(0,2)內(nèi)取值的概率為____________．

　　[答案] 0.8

　　[解析] ∵＝1，正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝1對稱．

　　在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相等．

　　12．(2010福安)某廠生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布N(25,0.032)，為使該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有95%以上的合格率，則該廠生產(chǎn)的零件尺寸允許值范圍為________．

　　[答案] (24.94,25.06)

　　[解析] 正態(tài)總體N(25,0.032)在區(qū)間(25－20.03，25＋20.03)取值的概率在95%以上，故該廠生產(chǎn)的零件尺寸允許值范圍為(24.94,25.06)．

　　三、解答題

　　13．若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值等于142.求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式．

　　[解析] 由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象即正態(tài)曲線關(guān)于y軸對稱，即＝0.而正態(tài)密度函數(shù)的最大值是12，所以12＝124，因此＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是，(x)＝142e－x232，x(－，＋)．

　　14．(2010邯鄲高二檢測)設(shè)隨機(jī)變量～N(2,9)，若P(c＋1)＝P(c－1)，求c的值．

　　[分析] 由題目可獲取以下主要信息：

　�、佟玁(2,9)，②P(c＋1)＝P(c－1)．

　　解答本題可利用正態(tài)曲線的對稱性來求解．

　　[解析] 由～N(2,9)可知，密度函數(shù)關(guān)于直線x＝2對稱(如圖所示)，

　　又P(c＋1)＝P(c－1)，

　　故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，

　　c＝2.

　　[點(diǎn)評] 解答此類問題要注意以下知識的應(yīng)用：

　　(1)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1；

　　(2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝對稱，從而在關(guān)于x＝對稱的區(qū)間上概率相等．

　　(3)P(xa)＝1－P(xa)

　　P(x－a)＝P(x＋a)

　　若b，則P(xb)＝1－P(x＋b)2.

　　15．某個(gè)工廠的工人月收入服從正態(tài)分布N(500,202)，該工廠共有1200名工人，試估計(jì)月收入在440元以下和560元以上的工人大約有多少？

　　[解析] 設(shè)該工廠工人的月收入為，則～N(500,202)，所以＝500，＝20，

　　所以月收入在區(qū)間(500－320,500＋320)內(nèi)取值的概率是0.9974，該區(qū)間即(440,560)．

　　因此月收入在440元以下和560元以上的工人大約有1200(1－0.9974)＝12000.00263(人)．

　　16．已知某種零件的尺寸(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋)上是減函數(shù)，且f(80)＝182.

　　(1)求概率密度函數(shù)；

　　(2)估計(jì)尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？

　　[解析] (1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對稱，且在x＝80處取得最大值，因此得＝80.

　　12＝182，所以＝8.

　　故概率密度函數(shù)解析式是，(x)＝182e－(x－80)2128.

　　(2)尺寸在72mm～88mm之間的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之間的概率為68.28%.

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