對口算算理、算法的辯證認識

對口算算理、算法的辯證認識賁友林什么叫算理?什么叫算法?這是進行口算教學必須首先搞明白的問題。算理就是計算過程中的道理，解決"為什么這樣算"的問題。算法就是計算的方法，解決"怎樣算"的問題。如何認識口算中算理與算法的關系，下面談一些想法。"有"與"無"對于小學生的口算來說，核心的內(nèi)容是基本口算。所謂基本口算主要指20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法。除了這些基本口算。要求學生掌握的還有簡單的兩位數(shù)加、減法及百以內(nèi)的乘加、乘減、除加、除減等；在小數(shù)、分數(shù)四則計算中，也有相當數(shù)量的口算內(nèi)容。那學生在學習這些口算時，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基礎上掌握算法的呢?先從最簡單的加法說起。3+2。怎樣算?為什么這樣算?就這兩個問題，我訪談了大學教授、小學數(shù)學教研員和小學數(shù)學教師，但他們沒有一人能做出解釋。其實不難發(fā)現(xiàn)。我們往往脫口而出3加2等于5，我們的策略是"直接提取"，也就是說，3加2等于5，我們成人已經(jīng)形成了"計算自動化"，在我們的頭腦中已經(jīng)有了現(xiàn)成的答案，我們可以迅速地從長期記憶中提取有關數(shù)學事實。那我們在一年級教學時。又是如何處理3+2的呢?一種常見的教法是借用數(shù)的組成想得數(shù)，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我們知道，在學習3+2=5之前，已有相當一部分學生知曉3+2=5；我們也知道，有學生最初就是用"數(shù)手指"的方法數(shù)出來的。之后，又由數(shù)手指發(fā)展為數(shù)數(shù)，即接著3之后數(shù)兩個數(shù)：4、5，所以，3+2=5。這樣的算法，我們也許覺得很幼稚，但這樣的算法，恰恰最接近加法的定義。在遞歸算術中，自然數(shù)的加法可以用求繼數(shù)的運算來定義。如，求3+2的和，就是求3的繼數(shù)的繼數(shù)。即在自然數(shù)中，從3往后數(shù)2個數(shù)所得出的5。毋庸置疑，一段時間之后，學生在算"3+2"時也都形成了"計算自動化"，3+2等于5，都儲存于記憶中。這時，算法已經(jīng)脫胎于算理。學生學習基本口算就是在頭腦中構建一個"數(shù)學事實庫"的過程。繼而完成從構建事實到提取事實的轉(zhuǎn)化。我們是否可以這樣理解：最初，學生在口算時，可能有算法而不知算理；后來，知算法而且知算理；再后來，又是有算法無算理。也就是說，在學生學習口算探索與掌握算法的不同時段，他們計算時是否具有算理，經(jīng)歷了"無--有--無"這樣一個過程。由此推想，不同的口算內(nèi)容，算法與算理是否也表現(xiàn)出像這樣脫離、融合、脫胎的不同階段之分呢?在口算教學時，學生不理解算理，教師需要引導，否則學生的計算只是停留于形式化地計算，他們只是機械地掌握計算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教師卻不要太多地糾纏于算理。"一"與"多"在學習口算兩位數(shù)減兩位數(shù)44-25時，學生獨立思考之后交流了各自算法。算法1：44-5=39，39-20=19--把減數(shù)分成5和20，從被減數(shù)中依次減去。算法2：40-25=15，15+4=19--把被減數(shù)分成40和4，先從40里減去25，再把所得的差與4合并。算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19--個位上4減5不夠減，還差1，就從十位上減得的差20里去掉1。算法4：44-24=20，20-1=19--把減數(shù)分成24和1，再從被減數(shù)中依次減去。算法5：30-25=5，14+5=19--把被減數(shù)分成30和14，從30里減去25得5，再把14和5合并。算法6：14-5=9，30-20=10，10+9=19--豎式計算的方法。算法7：十位上，30-20=10；個位上，14-5=9；得數(shù)是19--先算十位。再算個位。算法多樣化是學生獨立思考后自然生成的。細細分析各種算法。算法1和算法4的算理是一樣的，都是把減數(shù)分成兩部分，從被減數(shù)中分別減去；算法2和算法5的算理是一樣的，都是把被減數(shù)分成兩部分，其中一部分減去減數(shù)后再與被減數(shù)的另一部分合起來；算法6和算法7都是在頭腦中構建豎式，算法6從個位減起，算法7從十位減起。由此可見，就算題本身來說，算法是多樣的，但算理可能相同。再說一例。學習小數(shù)乘法，一組口算練習之后，反饋時發(fā)現(xiàn)，有幾位學生在口算20×0.4這一題時出錯了。教師指名一位學生口述算法：先算20乘4等于80。再點小數(shù)點：8.0，化簡得8。學生采用的是"類似筆算的口算"。即在頭腦中想20×0.4的豎式并算出得數(shù)。教師在學生口述算法的過程中板書：

教師如上板書。是讓學生理解其算法的算理，即應用了乘法中因數(shù)變化引起積變化的規(guī)律進行口算。一位學生舉手：我是這樣算的：20xO，4=2×4=8。教師追問：你為什么這樣算呢?學生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不難發(fā)現(xiàn)，這位學生交流的是"分解因數(shù)、運用乘法結(jié)合律"的方法進行口算。。又一位學生舉手：我也是這樣算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一個因數(shù)除以10，另一個因數(shù)乘10，積不變。如果完整寫出這位學生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。后兩種算法，如果不去追問思維過程，我們也許會做出"算法相同、算理相同"的判斷，然而，看似相同的算法，其實并不同。但算理卻是相同的。當我們看到的是"一"，也許僅僅是表面形式的相同，其內(nèi)部蘊含的可能是"多"。學生的思維過程是豐富多彩的�？谒憬虒W中，存在著的一種現(xiàn)象是，教師重結(jié)果、輕過程，只滿足于口算正確，不愿花時間去分析學生的思維過程。我們要注意克服這種不良傾向。在口算時，鼓勵學生"用你的腦子去算"，而不僅僅是"在你的腦子里算"。"有用"與"無用"對于算理與算法。學生在實際口算時往往更注重算法，因為按其操作即可算出結(jié)果。教師關注的焦點是學生要算得對、算得快，至于"為什么這樣算"，往往不夠重視。那算理是"有用"還是"無用"呢?有這樣一次"意外事件"。由于制作試卷的疏忽，在五年級學習小數(shù)加、減法之后的單元測試卷上出現(xiàn)了這樣一道口算題：3.6×0.5，這道題原本應是3.6+0.5。顯然，這樣的算題如何計算學生還未學習。我想了想，決定不改題，看看學生能否獨立探索解決"未學過"的問題。為了解學生具體的思維過程，我讓學生在試卷上寫下口算3.6×0.5是怎樣想的。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：全班47位學生參加測試。有25位學生正確算出結(jié)果。其中有10位學生的算法是寫出豎式，用筆算的方法算出結(jié)果(對這樣的算法，我又找?guī)孜粚W生進行交流：為什么積是1.8?學生的回答是：3.6的一半，應當是一點幾；36乘5得180，結(jié)果是兩位小數(shù)，化簡后是1.8)；有14位學生根據(jù)3.6×0.5的意義算出結(jié)果，他們的算法是：一個數(shù)乘0.5，得數(shù)是這個數(shù)的一半。3.6÷2=1.8：還有1位學生運用乘法分配律的方法算出結(jié)果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5+0.3，就等于1.8。學生為什么在未學的情況下能算出來?盡管正確算出得數(shù)的25位學生未必都理解算理，但可以發(fā)現(xiàn)，如果他們理解了算理，那么他們基本上就能正確算出算題。算理有助于學生探索算法。有算法時，不一定能說清算理；但有算理。可以轉(zhuǎn)化成算法。又一則例子�？谒阏�百數(shù)乘一位數(shù)400×2，學生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添兩個0。為什么在8后面添兩個0，學生解釋不清楚。教學時。教師要讓學生給自己的算法找一個合理的解釋，在學生解釋的過程中引導學生理解：4個百乘2，得8個百，也就是800。由此，學生可進一步在理解算理的基礎上計算像4000×2、40000×2這樣的算題，而不停留于"照葫蘆畫瓢"式的模仿計算。綜上所述，算理不是沒有用。而是教師在教學中是否發(fā)揮其作用。不要把算理、算法作為"兩張皮"。算理為計算提供了正確的思維方式。保證了計算的合理性和正確性，算法為計算提供了快捷的操作方法，提高了計算的速度。算理往往是隱性的。算法往往是顯性的。它們相輔相成，算理的探討有助于學生探索算法、掌握算法。當然，在口算學習過程中，也要注意避免程式化地敘述算理，對算理的一味推崇容易讓學生陷入空洞抽象說教的泥潭，不過，對算法的過度操練也容易讓學生走向機械重復練習的窠臼。(作者單位：南京師范大學附屬小學)

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