利用多邊形的內(nèi)角和來解決問題是我們在解題時(shí)經(jīng)常遇到的，而知道多邊形的外角和是多少也同樣重要.在學(xué)習(xí)中我們知道任意多邊形的外角和都為360，內(nèi)角和公式為(n-2)180，利用這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以解決多邊形的內(nèi)角、外角、邊數(shù)及對角線等問題，現(xiàn)就一些例題進(jìn)行一下例析.
一.求多邊形的邊數(shù)
例1.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是900，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_________.
分析：設(shè)此多邊形邊數(shù)為n，利用多邊形內(nèi)角和公式，得到(n-2)180=900，解得n=7，所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為7.
例2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，那么這個(gè)多邊形是__________.
分析：設(shè)多邊形邊數(shù)為n，其內(nèi)角和為(n-2)180，外角和為360，因?yàn)檫@個(gè)多邊形內(nèi)、外角和相等，可得(n-2)180=360解得n=4.所以這個(gè)多邊形是四邊形.
例3.如果正多邊形的一個(gè)外角為72，那么它的邊數(shù)是( )
分析：其中一種思考方法為：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60，而一個(gè)外角為72，所以它的邊數(shù)
為36072另一種思考方法為：因?yàn)檎噙呅蔚囊粋�(gè)外角為72，可以得出與它相鄰的內(nèi)角為180-72=108，因多邊形的內(nèi)角和為(n-2)180，可得(n-2)180=108n，解這個(gè)方程得：n=5.
例4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
分析：此題可設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，因?yàn)槎噙呅蝺?nèi)角和為(n-2)180，多邊形的外角和為360，所以根據(jù)題意可得：(n-2)180=3604，解得n=10.所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10.
二.求多邊形的內(nèi)角度數(shù)
例3：正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_________.
分析：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑?60，所以正六邊形每個(gè)外角的度數(shù)為 ,所以每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為180-60=120此題也可利用多邊形的內(nèi)角和來解為 .
三.求多邊形對角線的條數(shù)
例4：一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都為36，則這個(gè)多邊形的對角線有_______條.
分析：因?yàn)檫@個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是36，所以這個(gè)多邊形是正多邊形.設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則n= ，所以這個(gè)多邊形是正十邊形.因?yàn)槎噙呅螌蔷�的總條數(shù)為 ，所以這個(gè)多邊形的對角線的條數(shù)為 .
四.實(shí)際應(yīng)用
1.某裝修公司到商場買同樣一種多邊形的地磚平鋪地面，在以下四種地磚中，你認(rèn)為該公司不能
買( )
A 正三角形的地磚 B 正方形地磚 C 正五邊形地磚 D 正六邊形地磚
分析：要使買的同樣一種多邊形的地磚能平鋪地面，則它的幾個(gè)角能構(gòu)成360，因正三角形三個(gè)內(nèi)角和為180，所以它符合標(biāo)準(zhǔn);正方形的四個(gè)內(nèi)角和為360，所以它也符合要求;而正五邊形它的一個(gè)內(nèi)角為108，360不能被108整除，所以正五邊形不符合要求;用同樣的道理可知正六邊形符合要求.所以此題選C.
[數(shù)學(xué)多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)方法]