向量空間證明

向量空間證明

解題的基本方法：

1)在立體幾何圖形中，選擇適當?shù)狞c和直線方向建立空間直角坐標系 中

2)若問題中沒有給出坐標計算單位，可選擇合適的`線段設置長度單位;

3)計算有關點的坐標值，求出相關向量的坐標;

4)求解給定問題

證明直線與平面垂直的方法是在平面中選擇二個向量，分別與已知直線向量求數(shù)積，只要分別為零，即可說明結(jié)論。

證明直線與平面平行的關鍵是在平面中尋找一個與直線向量平行的向量。這樣就轉(zhuǎn)化為證明二個向量平行的問題，只要說明一個向量是另一向量的m(實數(shù))倍，即可

只要多做些這方面的題，或看些這方面的例題，也會從中悟出經(jīng)驗和方法

2

解：

因為x+y+z=0

x=-y-z

y=y+0*z

z=0*y+z

(x,y,z)=(-1，1，0)*y+(-1，0，1)*z

y,z為任意實數(shù)

則：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一組基，維數(shù)為2(不用寫為什么是2)

步驟1

記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟3.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延長AM到D使AM=DM，連接BD,CD,則ABCD為平行四邊形

則向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c

平方 (1)

向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d

平方 (2)

(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位線，且AD//BC，用向量法證明梯形的中位線定理

過A做AG‖DC交EF于P點

由三角形中位線定理有：

向量EP=向量BG

又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四邊形性質(zhì))

∴向量PF=(向量AD+向量GC)

∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得證

4

先假設兩條中線AD,BE交與P點

連接CP,取AB中點F連接PF

PA+PC=2PE=BP

PB+PC=2PD=AP

PA+PB=2PF

三式相加

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

3PA+3PB+2PC=2PF

6PF+2PC=2PF

PC=-2PF

所以PC,PF共線，PF就是中線

所以ABC的三條中線交于一點P

連接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=OP+PD

OE=OP+PE

OF=OP+PF

OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

由第一問結(jié)論

2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

2PA+2PB+2PC=0

1/2AP+1/2BP+1/2CP

所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

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