弦切角定理的證明

弦切角定理：定義弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半. (弦切角就是切線與弦所夾的角)弦切角定理證明

證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB，OA。過點(diǎn)A作TP的平行線交BC于D，

則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

證明：分三種情況：

(1)圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵為半圓,

(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部.

過A作直徑AD交⊙O于D,

那么

.

(3)圓心O在∠BAC的外部,

過A作直徑AD交⊙O于D

那么

2

連接并延長(zhǎng)TO交圓O于點(diǎn)D，連接BD因?yàn)門D為切線，所以TD垂直TC，所以角BTC+角DTB=90因?yàn)門D為直徑，所以角BDT+角DTB=90所以角BTC=角BDT=角A

3

編輯本段弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另 圖示一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角） 如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都為弦切角。 編輯本段弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.弦切角定理證明： 證明一：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。 ∵∠TCB=90-∠OCB ∵∠BOC=180-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半） ∵∠BOC=2∠CAB(圓心角等于圓周角的兩倍) ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓周角） 證明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角∠BAC所夾的弧. 求證：(弦切角定理) 證明：分三種情況： (1)圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵為半圓, ∴∠CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角 B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)(2)圓心O在∠BAC的內(nèi)部. 過A作直徑AD交⊙O于D, 若在優(yōu)弧m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E 那么，連接EC、ED、EA 則有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴ ∠CEA=∠CAB ∴ (弦切角定理) (3)圓心O在∠BAC的外部, 過A作直徑AD交⊙O于D 那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴(弦切角定理) 編輯本段弦切角推論推論內(nèi)容若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等 應(yīng)用舉例 例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，以AB為弦的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，∠CBA=60° , AB=a 求BC長(zhǎng). 解：連結(jié)OA，OB. ∵在Rt△ABC中, ∠C=90 ∴∠BAC=30° ∴BC=1/2a(RT△中30°角所對(duì)邊等于斜邊的一半) 例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經(jīng)過點(diǎn)A的⊙O與BC切于點(diǎn)D，與AB，AC分別相交于E，F(xiàn). 求證：EF∥BC. 證明：連DF. AD是∠BAC的平分線∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如圖，ΔABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C， 求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 證明：∵AB是⊙O直徑 ∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B， ∵M(jìn)N切⊙O于C ∴∠MCA=∠B， ∴∠MCA=∠ACD， 即AC平分∠MCD， 同理：BC平分∠NCD.

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