向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算都沒有發(fā)生改變. 若在歐式空間中規(guī)定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數(shù)量積的運(yùn)算，則高中階段的向量即為n=2，3時(shí)的情況.

設(shè)a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈R，i=1，…，n)

規(guī)定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a·b可記為(a，b)，表示兩向量的內(nèi)積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數(shù)量積的不等式建立一系列n元不等式，進(jìn)而構(gòu)造n維向量來證明其他不等式.

一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設(shè)a，b，c∈R+，求證：(a+b+c)≤++≤.

證明：先證左邊，設(shè)m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

則由

綜上，原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數(shù)量積建立不等式證明右邊.

作單位向量j⊥AC

j(AC+CB)=jAB

jAC+jCB=jAB

jCB=jAB

|CB|cos(π/2-∠C)=|AB|cos(π/2-∠A)

即|CB|sinC=|AB|sinA

a/sinA=c/sinC

其余邊同理

在三角形ABC平面上做一單位向量i,i⊥BC,因?yàn)?BA+AC+CB=0恒成立，兩邊乘以i得 i*BA+i*AC=0① 根據(jù)向量內(nèi)積定義，i*BA=c*cos(i,AB)=c*sinB,同理 i*AC=bcos(i,AC)=b(-sinC)=-bsinC代入①得 csinB-bsinC=0 所以b/sinB=c/sinC 類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sinA=b/sinB, 所以a/sinA=b/sinB=c/sinC

步驟1

記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接著得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點(diǎn)H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟3.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因?yàn)橥�弧所�?duì)的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個(gè)等式。

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