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勾股定理證明方法
勾股定理證明方法勾股定理的種證明方法(部分)
【證法1】(梅文鼎證明)
做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.
∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180―90= 90.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90.
即 ∠CBD= 90.
又∵ ∠BDE = 90，∠BCP = 90，
BC = BD = a.
∴ BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.
同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.
設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴ .
【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)
做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.
過點(diǎn)Q作QP‖BC，交AC于點(diǎn)P.
過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M;再過點(diǎn)
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90，
∴ BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC = 90.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90，∠BCA = 90，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
【證法3】(趙浩杰證明)
做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b(b>a) ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.
分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，
∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，
∴FI=a，
∴G,I,J在同一直線上，
∵CJ=CF=a，CB=CD=c，
∠CJB = ∠CFD = 90，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，
同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90,
∴∠ABG +∠CBJ= 90,
∵∠ABC= 90,
∴G,B,I,J在同一直線上，
【證法4】(歐幾里得證明)
做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等于，
ΔGAD的面積等于矩形ADLM
的面積的一半，
∴ 矩形ADLM的面積 =.
同理可證，矩形MLEB的面積 =.
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ，即 .
[編輯本段]勾股定理的別名
勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。
我國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家。我國古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。
在法國和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。
在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”.
前任美國第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。
[編輯本段]證明
這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來證明勾股定理，但是，因?yàn)樗械幕救呛愕仁蕉际墙ɑ诠垂啥ɡ�，所以不能作為勾股定理的證明(參見循環(huán)論證)。
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