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不等式證明
不等式，是指在初等與高等數(shù)學(xué)中常用于計(jì)算與證明問題的不等式。以下是小編為大家收集的不等式證明，歡迎大家借鑒與參考，希望對(duì)大家有所幫助。
不等式證明
不等式是數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具，在數(shù)學(xué)中有重要的地位，也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強(qiáng)，它不僅能夠檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，而且是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)水平的一個(gè)重要標(biāo)志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。
一、不等式的初等證明方法
1.綜合法：由因?qū)Ч?/p>
2.分析法：執(zhí)果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..
(1)“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件。
(2)“分析法”證題是一個(gè)非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。
3.反證法：正難則反。
4.放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的。放縮法的方法有：
(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如：
2)利用基本不等式，如：
(3)將分子或分母放大(或縮小)：
5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題
化難為易、化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。
6.構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來(lái)證明不等式。
證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法。
7.數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究。
8.幾何法：用數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。
9.函數(shù)法：引入一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到證明不等式的目的。
10.判別式法：利用二次函數(shù)的判別式的特點(diǎn)來(lái)證明一些不等式的方法。當(dāng) a>0時(shí)，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當(dāng) a<0時(shí)，f(x)>0(或< 0).△>0(或< 0)。
二、部分方法的例題
1.換元法
換元法是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結(jié)構(gòu)，便于進(jìn)行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化隱蔽為外顯的積極效果。
注意：在不等式的證明中運(yùn)用換元法，能把高次變?yōu)榈痛危质阶優(yōu)檎�，無(wú)理式變?yōu)橛欣硎�，能�?jiǎn)化證明過程。尤其對(duì)含有若干個(gè)變?cè)凝R次輪換式或輪換對(duì)稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，可收到事半功倍之效。
2.放縮法
欲證 A≥B，可將 B適當(dāng)放大，即 B1≥B，只需證明 A≥B1。相反，將 A適當(dāng)縮小，即 A≥A1，只需證明 A1≥B即可。
注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個(gè)度，如果放得過大或縮得過小，就會(huì)導(dǎo)致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個(gè)恰到好處進(jìn)行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識(shí)，同時(shí)要求我們具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力和一定的解題智慧。
3.幾何法
數(shù)形結(jié)合來(lái)研究問題是數(shù)學(xué)中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時(shí)，可以考慮構(gòu)造相關(guān)幾何圖形來(lái)完成，若運(yùn)用得好，有時(shí)則有神奇的功效。
擴(kuò)展資料：
證明幾種不等式的方法及常用的一些不等式，該文中的方法既包含了初等數(shù)學(xué)的方法也包含了高等數(shù)學(xué)的方法，且每個(gè)方法都對(duì)應(yīng)一個(gè)題目，方便大家來(lái)理解并應(yīng)用它們，但本文不再去證明一些不等式，直接去利用它們的結(jié)論。
一、不等式的一些性質(zhì)
這一塊相對(duì)是很簡(jiǎn)單的，所以就不再過多贅述（例如乘法單調(diào)性、相加法則等等）
二、比較法
比較法是直接作出所求不等式兩邊的差（或商）然后推演結(jié)論的辦法。
三、綜合法
綜合法是“由因?qū)Ч�，從一直條件出發(fā)，依據(jù)不等式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)或熟知的基本不等式，逐步推導(dǎo)出要證明的不等式。
四、分析法
分析法是“執(zhí)果索因”從所求證得結(jié)論出發(fā)，步步推求使之不能成立的充分條件（或充要條件）直至歸結(jié)到已知條件或已知結(jié)論為止。
五、反證法
先假設(shè)要證明的結(jié)論不對(duì)，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性。
六、換元法
換元法是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，從而使其不等式化繁為簡(jiǎn)。
七、構(gòu)造法
通過構(gòu)造函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列、向量等來(lái)證明不等式
八、數(shù)學(xué)歸納法
該方法在此把內(nèi)容呈現(xiàn)給大家就行了，具體題目就不在此呈現(xiàn)了。數(shù)學(xué)歸納法有四種（第一類數(shù)學(xué)歸納法、第二類數(shù)學(xué)歸納法、跳躍數(shù)學(xué)歸納法、反向數(shù)學(xué)歸納法）這里幾乎用的都是第一類。
九、放縮法
放縮法又稱傳遞法，它是根據(jù)不等式的傳遞性，將所求證得不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，是不等關(guān)系變得明朗化，從而證得不等式成立。
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