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10-阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)
例1：在光滑的水平桌面上有一質(zhì)量為m、勁度系數(shù)為k的彈 簧振子，設(shè)彈簧原長位置為x軸的原點(diǎn)O.現(xiàn)將物體向右拉開 到P點(diǎn)使OP間距離為x0 . 然后由靜止將其釋放并開始計(jì)時(shí)。 求：(1) 彈簧振子的振動(dòng)表達(dá)式； (2) 物體由P點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間間 x 隔內(nèi), 彈簧中的彈性力施加給物體的沖量。 x0 O P (1) 解： ω = k m t = 0 時(shí),
x = x0 , v = 0
A = x0 , ? = 0
x = x0 cos k m t
(2) I = m v 2 ? m v1
I = m v 2 = ? mω A = ? x 0 km
t = T/4 時(shí), I = ∫ ?kx d t = ∫ 4 ?kx0 cos k mt d t = ? x0 km
4 0 0 T T
2012年3月15日
大連理工大學(xué)
秦 穎
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例2：將豎直懸掛的彈簧振子(m, k)向下拉使彈簧伸長 為3mg/k, 然后由靜止釋放, 要使振子動(dòng)能達(dá)到m2g2/k， 至少需要經(jīng)歷的時(shí)間是多少? 以平衡位置為原點(diǎn)。
解： 平衡時(shí) m g = kl0
ω =
k m
x = A cos (ω t + ? )
3 mg mg 2 mg A= ? = k k k
由初條件知 ，? = 0
x = A cos ( ω t )
1 2 1 m2 g 2 2m 2 g 2 mv = mω 2 A2 sin2 (ωt ) = sin 2 (ω t ) = 2 2 k k π π m ωt =
4
t =
4
k
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例3：勁度系數(shù)為100N/m的輕彈簧和質(zhì)量為10g的 小球組成彈簧振子，第一次將小球拉離平衡位置 4cm ，由靜止釋放任其擺動(dòng)；第二次將球拉離平 衡位置2cm 并給以2m/s的初速度任其擺動(dòng)。兩次 16 × 10 ? 4 16 2 振動(dòng)的能量之比 E 1 A12 = 2 = = = 2 為( )。 E2 A2 8 1 ? 2 v0 ?
? x0 + ω 2 ? ? ?
例4：一彈簧振子豎起掛在電梯內(nèi),當(dāng)電梯靜止時(shí)振 子諧振動(dòng)頻率為ν0,現(xiàn)使電梯以加速度a向上作勻加 速運(yùn)動(dòng),則其簡諧振動(dòng)的頻率 將如何變化？(填不變、變大、 ν = 1 k 不變 2π m 變小、變大變小都有可能)
2012年3月15日 大連理工大學(xué) 秦 穎
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例5：一單擺掛在電梯頂上，當(dāng)電梯靜止時(shí)，單擺 的諧振動(dòng)周期為T0 ，現(xiàn)使電梯向下作勻加速運(yùn)動(dòng), 則單擺周期將如何變化？(變http://www.wEnku1.com大、變小、不變)
T0 = 2π
l g
T
ma mg
l T ′ = 2π 變大 g-a
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§4.3 阻尼振動(dòng)
一、阻尼振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程
d2x dx 微分方程： m 2 = ? kx ? γ dt dt
f = ?γ (dx / dt )
d2 x dx + kx = 0 m 2 +γ dt dt
1. 受力特點(diǎn)：物體受回復(fù)力和與速度正比的阻尼力。 2.
γ
m
= 2β
k = ω 02 m
d2 x dx d 2 x γ dx k 2 + 2β + ω0 x = 0 + + x=0 2 2 dt dt dt m dt m
ω 0 ～無阻尼振動(dòng)的固有頻率
設(shè) x → Ae
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β ～阻尼系數(shù)
3. 設(shè)定試解： ( r 2 + 2β r + ω 02 )e r t = 0 → r 2 + 2β r + ω 02 = 0
rt
2 2 ? b ± b2 ? 4ac ? 2β ± 4β ? 4ω0 2 r= = = ?β ± β 2 ? ω0 2a 2
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二、微分方程的求解 1. 小阻尼：
r = ?β ±
x
β 2 ? ω 02
A
Ae ? β t
A e ? β t cos ω t
β
r = ?β ± iω
O
x = Ae r t = Ae ? β t cos(ω t + ? )
τ =
1 ～平均壽命或時(shí)間常數(shù)
2β
(? = 0 )
t
A
T
振幅衰減，周期變大。 N = τ / T → Q = 2πτ / T = ωτ ～品質(zhì)因數(shù)或系統(tǒng) Q 值
r = ?β ±
2. 大阻尼：
β 2 ? ω 02
緩慢回歸，沒有周期。
2 β > ω 0→ ω = β 2 ? ω 0 → r = ? β ± ω
x = Ae
? ( β ?ω ) t
+ Be
? ( β +ω ) t
r 3. 臨界阻尼： = ? β ± β 2 ? ω 02 β = ω 0→ ω = 0 → r1 = r2 = ? β
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快速回歸，處于臨界。
→ x = e ? β t ( At + B )
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§4.4 受迫振動(dòng)
一、受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程
F = F0 c o s ω t
1. 受力特點(diǎn)：物體受回復(fù)力、阻尼力和周期性外力。 2.
d2 x dx d2 x dx 微分方程： m 2 = ?kx ? γ + F m 2 + γ + kx = F dt dt dt dt d2 x dx + 2β + ω02 x = f0 cos ω t dt 2 dt d 2 x γ dx k F + + x= 2 dt m dt m m
ω ～策動(dòng)頻率
ω 0 ～固有頻率
a cos θ a 2 + b2 ? b sin θ a 2 + b2
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β ～阻尼系數(shù)
) = a 2 + b 2 cos(θ + ? )
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3. 設(shè)定特解：由周期性外力特點(diǎn) x → A cos(ω t + ? )
a cosθ ? b sin θ = a 2 + b 2 (
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二、微分方程的求解 1. 方程通解：應(yīng)該是阻尼的通解與受迫的特解之和。
(ω 02 ? ω 2 ) cos (ω t + ? ) ? 2 βω sin( ω t + ? ) = ( f 0 / A ) cos ω t
(ω 02 ? ω 2 ) 2 + (2 βω ) 2 [cos(ω t + ? ) cosψ ? sin(ω t + ? ) sinψ ]
= (ω 02 ? ω 2 ) 2 + (2 βω ) 2 cos(ω t + ? + ψ ) = ( f0 / A ) cos ω t
A= f0
2 (ω 0 ? ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
2βω ? = ?ψ = ? arctan 2 ω0 ? ω 2
由初始條件決定的三個(gè)阻尼通解均是時(shí)間的衰減解。 由系統(tǒng)條件決定的非齊次方程的特解就是方程的解。
x = A cos( ω t + ? ) + Be ? β t x ′ ( t ) → x = A cos( ω t + ? )
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x = A cos(ω t + ? ) + Be
?βt
x ′( t )
穩(wěn)態(tài)解 x = A cos(ωt + ? )
x
t
穩(wěn)態(tài)時(shí)受迫振動(dòng)表達(dá)式雖然和無阻尼自由振動(dòng)的 表達(dá)式相同，都是簡諧振動(dòng)，但實(shí)質(zhì)有所不同。 振動(dòng)的頻率等于策動(dòng)力的頻率，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)與 初始狀態(tài)無關(guān)。
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2. 位移共振：
A= f0
2βω ? = ? arctan 2 ω0 ? ω 2
A
2 (ω 0 ? ω 2 ) 2 + ( 2 βω ) 2
ω ≈ ω0
β = 0
2 2(ω0 ? ω 2 )( ?2ω ) + 8β 2ω = 0
2 ω = ω 0 ? 2β 2 特別對(duì)于小阻尼
Am =
f0 2β ω ? β
2 0 2
=
2β ω ′
f0
β1
ω0
ω
3. 速度共振：
ωA=
f0 (ω ? ω ) / ω + (2β )
2 0 2 2 2 2
v = x′ = ?ω A sin(ω t + ? )
ω = ω0
f0 π vm = ? =? 2β 2
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F = F0 cos( ω t ) 策動(dòng)力與速度同步 v = ωA cos(ω t )
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小號(hào)發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎
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1940年華盛頓的Tocama 懸索橋建成。 同年7月的一場大風(fēng)引起橋的共振，橋被摧毀。
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例1：在一平板上放質(zhì)量為m =1.0kg的物
體, 平板在豎直方向 上下作簡諧振動(dòng)，周期為T =0.5s，振幅A=0.02m。求: (1)平板 位于最高點(diǎn)時(shí), 物體對(duì)平板的壓力是多大？ (2)平板應(yīng)以多大 振幅作振動(dòng)才能使重物跳離平板。 N am 解：(1) ω = 2π = 4π mg T
am = Aω 2 = 0.02(4π ) 2 = 3.16 m/s 2
mg ? N = mam
N = m ( g ? am ) = 6.64 N
m
(2) N ≤ 0 時(shí)，物體跳離平板
am = Aω 2 = A(4π ) 2 ≥ 9.8
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A ≥ 0.062 m
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例2：如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下掛一質(zhì)量為M的盤子，一質(zhì)量為 m的物體從離盤子h高度處自由下落到盤中并與盤子一起振動(dòng)，試求：(1) 該系統(tǒng)的振動(dòng)周期。(2)該系統(tǒng)的振動(dòng)振幅。(3)取平衡位置為原點(diǎn)，位移 向下為正，并以開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求振動(dòng)方程。 解：(1)
ω=
k m+M
T=
2π
ω
= 2π
m+ M k
mg k (2) 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x軸向下為正
質(zhì)量為m的物體如果放到盤子里, l 0 = 碰前速度 v =
h
m M
2 gh
碰后共同速度 v0
m 2 gh mv = ( m + M )v0 m+M mg 以碰撞過程結(jié)束為計(jì)時(shí)零點(diǎn)， x0 = ? l0 = ? k v0 =
A= x02 +
o
x
l0
x = A cos(ω t + ? )
v0 = ω x0 2kh ( M + m) g
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ω2
v0 2
=
mg 2kh 1+ k (m + M ) g
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tan ? = ?
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