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數(shù)學(xué)奧賽-1(托勒密定理)
托勒密定理
定理的提出
一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實(shí)出自依巴
谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。
定理的內(nèi)容
托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積。
原文：圓內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。
從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)．
證明
一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）
在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD 因?yàn)椤鰽BE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
又有比例式AB/AC=AE/AD
而∠BAC=∠DAE
所以△ABC∽△AED相似.
BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因?yàn)锽E+ED≥BD
（僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí)，等號(hào)成立，即“托勒密定理”） 所以命題得證
復(fù)數(shù)證明
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點(diǎn)A、B、C、D的復(fù)數(shù)，則AB、CD、AD、B
C、AC、BD的長(zhǎng)度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到復(fù)數(shù)恒等式： (a ? b)(c ? d) + (a ? d)(b ? c) = (a ? c)(b ? d) ，兩邊取模，運(yùn)用三角不等式得。 等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、
B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。 四點(diǎn)不限于同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、
設(shè)ABCD是圓內(nèi)接四邊形。 在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。 在AC上取一點(diǎn)K，使得∠ABK = ∠CBD； 因?yàn)椤螦BK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。 因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。 因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·C
D + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。 三、
托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．
證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得.....又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得.....①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．
推論
1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·B
C，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)
對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)
接于一圓、
推廣
托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外
一組對(duì)邊的乘積，取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線。
簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模， 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(
數(shù)學(xué)奧賽-1(托勒密定理) b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD注意：
1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。
2.四點(diǎn)不限于同一平面。
歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD
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