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矩陣的秩的性質(zhì)以及矩陣運(yùn)算和矩陣的秩的關(guān)系
高等代數(shù)第二次大作業(yè)
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周碧瑩 30011303班
矩陣的秩的性質(zhì)
1.階梯型矩陣J的行秩和列秩相等，它們都等于J的非零行的數(shù)目；并且J的主元所在的列構(gòu)成列向量的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。 2.矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。
證明：設(shè)矩陣A的行向量第一文庫(kù)網(wǎng)組是a1，…,as.設(shè)A經(jīng)過(guò)1型初等行變換變成矩陣B，則B的行向量組是a1，…,ai,kai+aj,…,as.顯然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as線性表處。由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a1，…,ai,kai+aj,…,as線性表處。于是它們等價(jià)。而等價(jià)的向量組由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可證2和3型初等行變換使所得矩陣的行向量組與原矩陣的行向量組等價(jià)，從而不改變矩陣的行秩。
3.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組的線性相關(guān)性。
證明 ：一是為什么初等行變換不改變列向量的線性相關(guān)性?二是列向量進(jìn)行初等行變換后，
為什么可以根據(jù)行最簡(jiǎn)形矩陣寫出不屬于極大無(wú)關(guān)組的向量用極大無(wú)關(guān)組表示的表示式? 第一個(gè)問(wèn)題：
設(shè)α1，α2，…，αn是n個(gè)m維列向量，則它們的線性相關(guān)性等價(jià)于線性方程組AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn線性相關(guān)等價(jià)于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn線性無(wú)關(guān)等價(jià)于AX=0只有零解。而對(duì)A進(jìn)行三種行初等變換分別相當(dāng)于對(duì)線性方程組中的方程進(jìn)行：兩個(gè)方程交換位置，對(duì)一個(gè)方程乘一個(gè)非零常數(shù)，將一個(gè)方程的常數(shù)倍對(duì)應(yīng)加到另一個(gè)方程上。顯然進(jìn)行三種變換后所得方程組與原方程組同解，若設(shè)所得方程組為BX=0，則B即為對(duì)A進(jìn)行行初等變換后所得矩陣。B的列向量的線性相關(guān)性與BX=0是否有解等價(jià)，也就是與AX=0是否有解等價(jià)，即與A的列向量的線性相關(guān)性等價(jià)!
第二個(gè)問(wèn)題 以一個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明。
例：設(shè)矩陣 ，求A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，
并把不屬于極大無(wú)關(guān)組的列向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示。
解：對(duì)A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯最簡(jiǎn)形矩陣
顯然變換后矩陣的第1、2、4列是3個(gè)線性無(wú)關(guān)向量，而加入第3、5列中任何一列即變?yōu)榫�性相關(guān)了，故由行變換不改變列向量的線性相關(guān)性可知α1，α2，α4是A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。
那么將α3由α1，α2，α4的線性表示的系數(shù)即為非齊次線性方程組 (α1，α2，α4)(x1，x2，x3)T=α3的解，故對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行初等變換即為
所以α3=-α1-α2+0α4，此系數(shù)即為對(duì)A進(jìn)行行初等變換后的第3列數(shù)字!
同理可得α5由α1，α2，α4線性表示的系數(shù)即為對(duì)A進(jìn)行初等行變換后所得行最簡(jiǎn)形矩陣的第5列對(duì)應(yīng)數(shù)字。
綜上所述，對(duì)矩陣的行初等變換的理解均可以對(duì)應(yīng)到以此矩陣為系數(shù)的線性方程組的同解操作，而討論線性方程組的解時(shí)又可以利用矩陣的相關(guān)理論進(jìn)行簡(jiǎn)化!
4.任一矩陣的行秩等于它的列秩。
證明：任取矩陣A，把它經(jīng)過(guò)初等行變換化成階梯型矩陣J.據(jù)（2）、（3）得出：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩。 5.設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換成為階梯形矩陣J，則A的秩等于J的非零行數(shù)的。設(shè)J的主元所在的列是第j1，則A的第j1，‘’’jr列，‘’’jr列構(gòu)成A的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。
6.矩陣A的秩等于A的轉(zhuǎn)置的秩。 7.矩陣的初等列變換不改變矩陣的秩。
8.任一非零矩陣的秩等于它的不為零的子式的最高階數(shù)。 （任一非零矩陣A的行秩等于列秩，并且等于A的不為零子式的最高階數(shù)。） 9.一個(gè)n級(jí)矩陣A的秩等于n當(dāng)且僅當(dāng)|A|≠0 （滿秩矩陣）
10.設(shè)s*n矩陣A的秩為r，則A的不等于零的r階子式所在的行（列）構(gòu)成A的列（行）向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。
矩陣的秩與運(yùn)算的關(guān)系
1.A≌B 則r（A）=r（B）
2.若PQ為可逆矩陣，則r（PA）=r（AQ）=r（PAQ）=r（A） 3.r（A±B）≤r（A）+r（B）
4.對(duì)于任意n階方陣A A*A=A A*=|A|E
5.若A可逆則A-1=A*/|A| （A*）-1=（A-1）*=A/|A| 6.(kA)*=kn-1A*（n≥2）
7.A、B為同階方陣。（AB）*=B*A* (A*)*=|A|n-1A(n＞2)
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